2019学年度第一学期期中模拟考试高 三 数 学 试 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z=． 2．若复数iia 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =． 3.若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则()+22k k Z πθπ=∈是21z =-的条件.4. 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1下，则x －12＋y 2的最小值为__________．5．若将函数x x f ωsin )(=的图象向右平移6π个单位得到)34sin()(πω-=x x f 的图象，则|ω|的最小值为_6．若直线kx y =是曲线x x x y +-=23的切线，则k 的值为 ． 7.在ABC ∆中，7AC =60B =︒，BC 边上的高33h =BC =．8．已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为．10.在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB CD ＝11．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为．12．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值围为． 13．如图，椭圆,椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F 过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若12||||6PF PF ⋅=，则||||PM PN ⋅的值为14．若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0，1]都成立，则实数a 的取值围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15、已知m R ∈，对p ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个根，不等式125m x x -≤-对任意实数[]1,2a ∈恒成立；q ：函数24()323f x x mx m =+++有两个零点，求使“p 且q ”为真命题的实数的取值围。
16．已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=. （1）求tan2A 的值；（2）若4B π=，3CB CA -=，求△ABC 的面积S ．17.已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ，且1l ∥2l .（1）判断函数()f x 的奇偶性；并判断,A B 是否关于原点对称； （2）若直线12,l l 都与AB 垂直，数b 的取值围.18、如图，某小区有一矩形地块C OAB ，其中C 2O =，3OA =，单位：百米．已知F OE 是一个游泳池，计划在地块C OAB 修一条与池边F E 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段C O 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，以线段C O 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边F E 满足函数22y x =-+（02x ≤≤）的图象．若点M 到y 轴距离记为t ．()1当23t =时，求直路l 所在的直线方程； ()2当t 为何值时，地块C OAB 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，右焦点)0,1(F ，点P 在椭圆C 上，且在第一象限，直线PQ 与圆222:b y x O =+相切于点M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若43=⨯PF PM ，求点P（3）若OQ OP ⊥，求点Q 的纵坐标t 的值。
x20．已知函数()ln 1a f x x x =+-，其中a 为参数，2221()ln 2x g x e x e x e x =⋅+-， （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）当[]1,x e ∈时，求函数()f x 的最小值；（3）函数()g x 是否存在垂直于y 轴的切线？ 请证明你的结论论。
2015—2016学年度第一学期期中模拟考试高 三 数 学 答案 2015年11月1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为．4 2．若复数iia 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =．5 3.若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则()+22k k Z πθπ=∈是21z =-的条件.充分不必要4. 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1下，则x －12＋y 2的最小值为__________．2555．若将函数x x f ωsin )(=的图象向右平移6π个单位得到)34sin()(πω-=x x f 的图象，则|ω|的最小值为_46．若直线kx y =是曲线x x x y +-=23的切线，则k 的值为 ．1或347.在ABC ∆中，7AC =，60B =︒，BC 边上的高332h =，则BC =．1或28．已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为． 29．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为．7210.在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB CD ＝ -111．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为．71012．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值围为． ．(－∞，－12－ln2)13．如图，椭圆,椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F 过椭圆上一点P 和原点O 作 直线l 交圆O 于,M N 两点，若12||||6PF PF ⋅=， 则||||PM PN ⋅的值为14．若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0，1]都成立，则实数a 的取值围是 ▲ ．15、已知m R ∈，对p ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个根，不等式125m x x -≤-对任意实数[]1,2a ∈恒成立；q ：函数24()323f x x mx m =+++有两个零点，求使“p 且q ”为真命题的实数的取值围。
(]4,816．已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=. （1）求tan2A 的值；（2）若4B π=，3CB CA -=，求△ABC 的面积S ． 解：（1）设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.AB AC S ⋅=,A bc A bc sin 21cos =∴,……2分A A sin 21cos =∴, 2tan =∴A .……4分34tan 1tan 22tan 2-=-=∴AA A .……5分（2）3CB CA -=,即3==c ,……6分20,2tan π<<=A A ,……7分55cos ,552sin ==∴A A .……9分 ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B∴=+=+22==……11分 由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ,……13分35523521sin 21=⋅⋅==A bc S .……14分17.已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ， 且1l ∥2l .（1）判断函数()f x 的奇偶性；并判断,A B 是否关于原点对称； （2）若直线12,l l 都与AB 垂直，数b 的取值围.解：（1）()()()()()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33，……2分()x f ∴为奇函数.……3分设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23，……5分()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ，∴()()()22111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->，∴2221x x =又21x x ≠，∴21x x -=，……6分 又()f x 为奇函数，∴点B A ,关于原点对称．……7分（2）由（1）知()()1111,,,y x B y x A --， ∴b ax x y k AB -==2111，……8分 又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2113， 直线12,l l 都与AB 垂直,∴()()22111,31AB k k axb ax b ⋅=--⋅-=-，……9分令021≥=ax t ，即方程014322=++-b bt t 有非负实根，……10分∴302≥⇒≥∆b ，又212103b t t +=> ， ∴0034>⇒>b b．综上3≥b ．……14分17、（本小题满分14分）如图，某小区有一矩形地块C OAB ，其中C 2O =，3OA =，单位：百米．已知F OE 是一个游泳池，计划在地块C OAB 修一条与池边F E 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段C O 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，以线段C O 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边F E 满足函数22y x =-+（02x ≤≤）的图象．若点M 到y 轴距离记为t ．()1当23t =时，求直路l 所在的直线方程；()2当t 为何值时，地块C OAB 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，右焦点)0,1(F ，点P 在椭圆C 上，且在第一象限，直线PQ 与圆222:b y x O =+相切于点M .（1）求椭圆C 的方程； （2）若43=⨯PF PM ，求点P 的横坐标的值； （3）若OQ OP ⊥，求点Q 的纵坐标t 的值。