几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值与最小值。
在初中包含三个方面的问题:1、函数:①二次函数有最大值与最小值;②一次函数中有取值范围时有最大值与最小值。
2、不等式: ①如x ≤7,最大值就是7;②如x ≥5,最小值就是5、3、几何图形: ①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短,③在三角形中,两边之与大于第三边,两边之差小于第三边。
一、最小值问题例1、 如图4,已知正方形的边长就是8,M 在DC 上,且DM=2,N 为线段AC 上的一动点,求DN+MN 的最小值。
解: 作点D 关于AC 的对称点D /,则点D /与点B 重合,连BM,交AC 于N,连DN,则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=6822 =10,∴DN+MN 的最小值就是10。
例2,已知,MN 就是⊙O 直径上,MN=2,点A 在⊙O 上,∠AMN=300,B 就是弧AN 的中点,P 就是MN 上的一动点,则PA+PB 的最小值就是解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P,则PA+PB 最短。
连OB,OA /,∵∠AMN=300,B 就是弧AN 的中点, ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900, 在Rt △A /BO 中,OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2图1LB'CBA图4NCD MPONMAA /EA MOP NB例3、 如图6,已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P,使点P 到D 、E 两点的距离之与最小,并求出最小值。
解:作点E 关于直线y=x 的对称点M, 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 则PE+PD 最短;即PE+PD=MD 。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N, 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=2522+=29。
∴最小值就是29。
练习1、(2012山东青岛3分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm.【答案】15。
【解】如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A 竖直剖开)后侧面就是一个长18宽12的矩形,作点A 关于杯上沿MN 的对称点B,连接BC 交MN 于点P,连接BM,过点C 作AB 的垂线交剖开线MA 于点D 。
由轴对称的性质与三角形三边关系知 AP ＋PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP 。
由已知与矩形的性质,得DC=9,BD=12。
在Rt △BCD 中,由勾股定理得2222BC DC BD 91215=+=+=。
∴AP ＋PC=BP ＋PC=BC=15,图6-4y=xyx432O112-1-2-3-4-1-2-3PNMED即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2、正方形ABCD边长就是4,∠DAC的平分线交CD与点E,点P,Q分别就是AD,AE上的动点(两动点不重合),则PQ+DQ 的最小值就是解:过点D 作DF⊥AC,垂足为F,则DF即为PQ+DQ的最小值.∵正方形ABCD的边长就是4,∴AD=4,∠DAC=45°,在直角△ADF中,∠AFD=90°,∠DAF=45°,A D=4,∴DF=AD•sin45°=4×22=22故答案为23、(2009•陕西)如图,在锐角△ABC中,AB＝4,∠BAC＝45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别就是AD与AB上的动点,则BM ＋MN的最小值就是______.解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上,且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短,即为B/H最短。
在Rt△AHB/中,∠B/AH＝45°,AB/=4,∴B/H=4,∴BM ＋MN的最小值就是4、4、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 , 解:∵四边形ABCD就是菱形,∴AD∥BC,∵∠A=120°,∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°,作点P关于直线BD的对称点P′,连接P/Q,PC,则P/Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,当点Q与点C重合,CP/⊥AB时PK+QK的值最小,在Rt△BC P/中,∵BC=AB=2,∠B=60°,∴C P/=BC•sinB=2×=.HB/DNMCB ADNMCB A5、 (2012兰州)如图,四边形ABCD中,∠BAD＝120°,∠B＝∠D＝90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN＋∠ANM的度数为【】A.130°B.120°C.110°D.100°解:作A关于BC与ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH,∵∠EAB＝120°,∴∠HAA′＝60°,∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°,∵∠MA′A＝∠MAA′,∠NAD＝∠A″,且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN,∠NAD＋∠A″＝∠ANM,∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°,故选:B.6、(2011•贵港)如图所示,在边长为2的正△ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值就是解:要使△PBG的周长最小,而BG=1一定,只要使BP+PG最短即可,连接AG交EF于M,∵等边△ABC,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,∴AG⊥BC,EF∥BC,∴AG⊥EF,AM=MG,∴A、G关于EF对称,即当P与E重合时,此时BP+PG最小,即△PBG的周长最小,AP=PG,BP=BE,最小值就是:PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3.故答案为:3.7、(第二阶段十三)在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 的坐标就是(9,0),tan ∠BOA=33,点C 的坐标为(2,0),点P 为斜边OB 上的一个动点,则PA+PC 的最小值为 67 解:作A 关于OB 的对称点D,连接CD 交OB 于P,连接AP,过D 作DN ⊥OA 于N,则此时PA+PC 的值最小, ∵Rt △OAB 的顶点A 的坐标为(9,0),∴OA=9, ∵tan ∠BOA=33∴AB=33,∠B=60°, ∴∠AOB=30°,∴OB=2AB=63 由三角形面积公式得:S △OAB =12×OA×AB=12×OB×AM, 即9×33=63AM, ∴AM=92,∴AD=2×92=9, ∵∠AMB =90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°, ∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°, ∵DN ⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN=12AD=92,由勾股定理得:DN=22AD AN +=22992⎛⎫+ ⎪⎝⎭=932,∵C(2,0),∴CN=9――292=52, 在Rt △DNC 中,由勾股定理得:DC=22DN CN +=2293522⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=67 即PA+PC 的最小值就是67,8、(2013苏州)如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上,顶点B 的坐标为(3,3),点C 的坐标为(12,0),点P 为斜边OB 上的一动点,则△PAC 周长的最小值为( )解:作A 关于OB 的对称点D,连接CD 交OB 于P,连接AP,过D 作DN⊥OA 于N, 则此时PA+PC 的值最小, ∵DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD, ∵B(3,),∴AB=,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:OB=2,由三角形面积公式得:×OA×AB=×OB×AM,∴AM=,∴AD=2×=3,∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN=AD=,由勾股定理得:DN=,∵C(,0),∴CN=3﹣﹣=1,在Rt△DNC中,由勾股定理得:DC==,即△PAC周长的最小值为52+,9、(2013•徐州模拟、仿真一)在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别就是(0,0),(20,0)(20,10)。
在线段AC、AB上各有一动点M、N,则当BM+MN为最小值时,点M的坐标就是( )解:如图,作点B关于AC的对称点B′,过点B′作B′N⊥OB于N,B′N交AC于M,则B′N=B′M+MN=BM+MN,B′N的长就就是BM+MN的最小值.连接OB′,交DC于P.∵四边形ABCD就是矩形,∴DC∥AB,∴∠BAC=∠PCA,∵点B关于AC的对称点就是B′,∴∠PAC=∠BAC,∴∠PAC=∠PCA,∴PA=PC.令PA=x,则PC=x,PD=20-x.在Rt△ADP中,∵PA2=PD2+AD2,∴x2=(20-x)2+102,∴x=12、5.∵cos∠B′O N=cos∠OPD,∴ON:OB′=DP:OP,∴ON:20=7、5:12、5,∴ON=12.∵tan∠MON=tan∠OCD,∴MN:ON=OD:CD,∴MN:12=10:20,∴MN=6.∴点M的坐标就是(12,6).故答案为(12,6).10、如图,在矩形ABCD中,AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最小值,求最小值。
解:如图,作点B关于直线AC的对称点B′,交AC与E,连接B′M,过B′作B′G⊥AB于G,交AC于F,由对称性可知,B′M+MN=BM+MN≥B′G,当且仅当M与F、点N与G重合时,等号成立,AC=105,∵点B与点B′关于AC对称,∴BE⊥AC,∴S△ABC=12AC•BE=12AB•BC,得BE=4 5,BB′=2BE=85因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°,则∠B′BG=∠ACB,又∠B′GB=∠ABC=90°,得△B′GB∽△ABC,// B G B B AB ACB′G=16,故BM+MN的最小值就是16cm.故答案为:16cm.11、如图,已知正方形ABCD的边长为10,点P就是对角线BD上的一个动点,M、N分别就是BC、CD边上的中点,则PM+PN的最小值就是解:作点N关于BD的对称点N′,交AD与N/,连接N/M,则N/M=AB最短。