2016中考数学专题讲座几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。

几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。

函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。

【典型例题】【例1】已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长； （3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。

【例2】（某某）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s ；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s ；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，BA DME CBADC备用图那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图（1） 图（2）【思路点拨】（1）设BP 为t ，则AQ = 2t ，证△APQ ∽△ABC ；（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．（3）构建方程模型，求t ；（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t 的值。

【例3】（某某）如图（1）,在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 图（1） 图（2） 图（3）【思路点拨】（1）证△AMN ∽△ABC ；（2）设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，先求出OD （用x 的代数式表示），再过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，证△BMQ ∽△BCA ；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。

然ABCMNDOABCMNPO ABCMNO后 分两种情况讨论求的最大值： ① 当0＜≤2时， ② 当2＜＜4时。

【学力训练】1、（某威海）如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝7，CD ＝1，AD＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN∥AB ，ME⊥AB ，NF⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积； （2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．2、（某某市）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值X 围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在， C DABEFNM A BCD ER P H Q请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．3、（某某）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和 △CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求 出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何 值时,y 有最大值，最大值是多少？4、（某某）如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）①求与之间的函数关系式；②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？几何与函数问题的参考答案【典型例题】DQC BPR ABADC（备用图1）B ADC（备用图2）【例1】（某市）（1）取中点，联结，为的中点，，．又，．，得；（2）由已知得．以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，，即．解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时，，．．，易得．得；②当时，，．．又，．，即，得．解得，（舍去）．即线段的长为2．综上所述，所求线段的长为8或2．【例2】（某某）（1）在Rt△ABC中，， BP由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC ，∴，∴，∴．（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△APH ∽△ABC ，∴，∴，∴，∴．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴，解得：．若PQ把△ABC面积平分，则，即－＋3t=3．∵ t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ ＝PC．∵PM ⊥AC于M，∴QM=CM ．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴，∴，∴，∴，∴，解得：．∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．此时，，B QP图②MN在Rt△PMC 中，，∴菱形PQP ′ C 边长为．【例3】（某某）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ． ∴ ，即．∴ AN ＝x ．∴=．（0＜＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =MN ．在Rt△ABC 中，BC ＝=5．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ ，即．∴ ，∴．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则．在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴．∴ ，．∴x ＝．∴当x ＝时，⊙O 与直线BC 相切．ABCMND 图（ 2）OA BCMNP图 （1）O（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴．AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论： ① 当0＜≤2时，．∴当＝2时，② 当2＜＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ． ∵四边形AMPN 是矩形， ∴PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴FN ＝BM ＝4－x ． ∴．又△PEF ∽ △ACB ． ∴．∴．＝．当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2． ABCMN 图 （ 4）OE F AMNP图 （3）O【例3】（某某）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴△AMN ∽△ABC ． ∴，即．∴AN ＝x ．∴=．（0＜＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =MN ．在Rt △ABC 中，BC ＝=5．由（1）知△AMN ∽△ABC ．∴，即．∴，∴．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴△BMQ ∽△BCA ． ∴．∴，．∴x ＝．∴当x ＝时，⊙O 与直线BC 相切．（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．ABMND 图（ 2）OAABMNP图 （1） O∴△AMO ∽△ABP ． ∴．AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论： ①当0＜≤2时，． ∴当＝2时，②当2＜＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ． ∵四边形AMPN 是矩形， ∴PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵MN ∥BC ，∴四边形MBFN 是平行四边形． ∴FN ＝BM ＝4－x ． ∴．又△PEF ∽△ACB ． ∴．∴．＝．当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2．【学力训练】1、（某威海）（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ．∵AB ∥CD ，ABMN图 （ 4）OE F∴DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1． ∵DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴△AGD ≌△BHC （HL ）． ∴AG ＝BH ＝＝3．∵在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴DG ＝4． ∴．（2）∵MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴四边形MEFN 为矩形． ∵AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴∠A ＝∠B ．∵ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴△MEA ≌△NFB （AAS ）． ∴AE ＝BF ．设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．∵∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴△MEA ∽△DGA ． ∴．∴ME ＝．∴．当x ＝时，ME ＝＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为．（3）能．C DABE F NM G H C DABE F NMG H由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME ＝．若四边形MEFN为正方形，则ME ＝EF．即7－2x．解，得．∴EF＝＜4．∴四边形MEFN 能为正方形，其面积为．2、（某某市）（1），，，．点为中点，．，．，，．（2），．，，，，即关于的函数关系式为：．（3）存在，分三种情况：①当时，过点作于，则．，，．，，AB CD ERPH QM21，．②当时，，．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，． ，，． 综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．3、（某某）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以所以所以（2）的周长之和为定值．理由一：过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，的周长之和等于BC ＋CH ＋BH由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 理由二：ABD E RP HABCD E R PHQ由AB＝5，AM＝4，可知在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：，所以，△BEF 的周长是，△ECG的周长是又BE＋CE ＝10，因此的周长之和是24．（3）设BE＝x ，则所以配方得：．所以，当时，y 有最大值．最大值为．4、（某某）（1）如图，四边形是矩形，．又，，，，．，．，．（2）如图（1），由轴对称的性质可知，，，．由（1）知，，，．，，．DQCBPRA（图1）在中，根据题意得：，解这个方程得：．（3）①当点在矩形的内部或边上时，，，，当时，当在矩形的外部时（如图（2）），，在中，， ，又，，在中，，．，，当时，．综上所述，与之间的函数解析式是：．D QC BPR A图（2）F E②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方程，得，因为，所以不合题意，舍去．所以．综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．。