几何图形中的最值问题引言：最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题：1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5.3.几何图形：①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题B镇*A镇♦' -------------------------- '燃气管例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。
解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM•/ CD=BC=8,DM=2, /• MC=6,在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10，••• DN+MN勺最小值是10。
例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。
连OB oA,•••/ AMN=30B是弧AN的中点,•••/ BOA=30°,根据对称性可知:丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, DDMBNAMOA在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1,••• A B =、2 即 PA+PB= 2作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do由轴对称的性质和三角形三边关系知例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到DE 两点的距离之和最小，并求出最小值。
解：作点E 关于直线y=x 的对称点M 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 贝U PE+PD 最短；即 PE+PD=MD ••• E(-1,-4),• M(-4,-1),过M 作MN/ x 轴的直线交过 D 作DN/ y 轴的直线于 N, 则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1),在 Rt △ MND 中 ,MN=5,ND=2, • MD= 5? 2 = .. 29。
•••最小值是.29 。
练习1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cmII \41订一干4 />is【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点A 竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形,AP+ PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP由已知和矩形的性质，得DC=9 BD=12在Rt△ BCD中，由勾股定理得BC DC2 BD2. 92 122 15。
••• AP+ PC=BPF PC=BC=15即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4,/ DAC的平分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ勺最小值是解：过点D作DF丄AC垂足为F,则DF即为PQ+DQ勺最小值.•••正方形ABCD的边长是4,• AD=4 / DAC=45 ,在直角△ ADF 中，/ AFD=90 , / DAF=45 , AD=4,••• DF=AD?sin45 =4 二22故答案为23. （2009?陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB= 4 , / BAC=45°,/ BAC的平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM + MN的最小值是 ____ .解：过B作关于AD的对称点B,则B在AC上,且AB=A B=4.,MB=M B,B/M N最短，即为B Z H最短。
在Rt△ AHB中，/ BAH= 45°, AB=4- ,• B H=4,• BM+ MN的最小值是 4.4. 如图，菱形ABCD中, AB=2, / A=120°，点P, Q K分别为线段BC, CD, BD上的任意一点，贝U PK+QK勺最小值为 _____解：•••四边形ABCD是菱形，• AD// BC•••/ A=120 ,•••/ B=180 -Z A=180 - 120° =60°,作点P 关于直线BD 的对称点 P ,连接 PQ PC 则P /Q 的长即为PK+Q 啲最小值，由图可知， 当点Q 与点C 重合，CP 丄AB 时PK+QK 勺值最小, 在 Rt △ BCP /中，T BC=AB=2 Z B=60° , ••CP /=BC?si nB=2X25. (2012 兰州)如图，四边形 ABCD 中,Z BAD= 120°,Z B =Z D = 90°，在 BC CD 上 分别找一点 M 汕使厶AMN 周长最小时，则Z AMI ^Z ANM 的度数为【 】A. 130° B . 120° C . 110°D . 100°解：作A 关于BC 和 ED 的对称点A', A 〃，连接A A 〃，交 BC 于M,交CD 于N,则A A 〃即为△ AMN 的周长最小值.作 DA 延长线AHT Z EAB= 120°,• Z HAA = 60°,• Z AA M+Z A "=Z HAA = 60°, •/Z MA A =Z MAA ,Z NAD =Z A ",故选：B .6. （2011?贵港）如图所示，在边长为 2的正△ ABC 中，E 、F 、G 分别为AB AC BC的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接 BP 、GP 则厶BPG 的周 长的最小值是 ______解：要使厶PBG 的周长最小，而 BG=1一定，且Z MA A +Z MAA =ZAMN ZNADF Z(A 〃=Z IANM • Z AMN-Z ANI =Z MA A +Z MAA +Z I NA +Z /_A=2( Z AA M +Z A " ) = 2X 60°= 120°,Rt △ OAB 勺顶点 A的坐标是（9,0） ,tan/ BOA —3 ,3点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则 解：作A 关于OB 的对称点D,连接CD 交OB 于 P,连接AP,过D 作DN L OA 于N,则此时PA+PQ 的值最小， ••• Rt △ OABI 的顶点 A 的坐标为（9, 0）,.・. OA=9 •/ tan / BOA 念 /• AB=3^3，/ B=60°,3•••/ AOB=30 ,••• OB=2AB=^31 1 由三角形面积公式得： &OA E =- X OA< AB=- X OB< AM22即9X3后=6后AM ,9 9 • AM=— , • AD=2X — =9,22•••/ AMB=90，/ B=60°,A Z BAM=30 , •••/ BAO=90，•/ OAM=6°0 ,PA+PC 的最小值为 “ 677.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中,1 •/ DN± OA NDA=30 , • AN=-2^67AD=9，由勾股定理得:2DN=.、AD 2 AN 2 9 =9/32 "V5 2 --9 22令在Rt △ DNC 中，由勾股定理得： DC=、.DN 2 CN 2即PA+PC 的最小值是.67 , 解：作A 关于OB 的对称点D,连接CD 交OB 于P ,连接AP, vl■r \ /£ —过D 作DNL OA 于N,则此时PA+PC 勺值最小，• DP=PA 「・ PA+PC=PD+PC=CD 0CA工8. （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中， Rt △ OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3， J3），点C 的坐标为（ -，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则△ PAC2 周长的最小值为（ ） • B (3 ,「)， ••• AB={% OA=3 / B=60°，由勾股定理得:OB=2 '；,由三角形面积公式得： 一X OAK AB 」X OBK AM 2 23 3 • AM 丄，• AD=2X =3, ::, :'， •••/ AMB=90，/ B=60°,A ZBAM=30 , •••/ BAO=90，•/ OAM=6°O , •/ DNL OA NDA=30 , • AN-Ag ，由勾股定理得：DN 「：；, 0), • CN =3_~2 在Rt △ DNC 中，由勾股定理得:即厶PAC周长的最小值为5+丄2 29. ( 2013?徐州模拟.仿真一)在平面直角坐标系中，矩形ABCD勺顶点A,B,C的坐标分别是(0, 0),( 20, 0)( 20 , 10)。
在线段AC AB上各有一动点M N,则当BM+M为最小值时，点M的坐标是( )解：如图，作点B关于AC的对称点B',过点B'作B' N丄OB于N, B'N交AC于M贝UB' N=B M+MN=BM+MN N 的长就是BM+MN勺最小值•连接OB ,交DC于P.•••四边形ABCD是矩形，••• DC/ AB, •••/ BAC=/ PCA•••点B关于AC的对称点是B', •••/ PAC=/ BAC•••/ PAC玄PCA •- PA=PC令PA=x,贝U PC=x PD=20-x.在Rt△ ADP中，T PA=PD+A[5,2 2 2二x = (20-x ) +10 ,• x=.•/ cos / B' ON=co3 OPD •- ON OB =DP OP• ON 20=:, • ON=12J yD cO s X O (A) N B得厶 B' GB^A ABCB /G ABB /B ACB' G=16 故 BM+M 的最小值是 16cm. 故答案为：16cm.11.如图，已知正方形 ABCD 勺边长为10,点P 是对角线BD 上的一个动点，M N 分别是BC CD 边上的中点，贝U PM+PN 勺最小值是 解：作点N 关于BD 的对称点N',交AD 与N ，连接N M 贝U N M =AB 最短。