几何图形中的动态问题★1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A出发，沿△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周．设点P从点A出发经x(x>0)秒后，△ABP的面积是y.(1)若AB＝8cm，BE＝6cm，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式；(2)已知点E是BC的中点，当点P在线段ED上时，y＝125x；当点P在线段AD上时，y＝32－4x.求y关于x的函数表达式．第1题图解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°，又∵AB＝8cm，BE＝6cm，∴AE＝AB2＋BE2＝82＋62＝10厘米，如解图①，过点B作BH⊥AE于点H，第1题解图①∵S△ABE＝12AE·BH＝12AB·BE，∴BH＝245cm，又∵AP＝2x，∴y＝12AP·BH＝245x(0<x≤5)；(2) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC, AD＝BC，∵E为BC中点，∴BE＝EC，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴AE ＝DE ，∵y ＝125x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)， 当点P 运动至点D 时，可联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝125xy ＝32－4x ，解得x ＝5，∴AE ＋ED ＝2x ＝10， ∴AE ＝ED ＝5cm ，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0， ∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8， ∴AE ＋DE ＋AD ＝16，∴AD ＝BC ＝6cm ，∴BE ＝3cm ， 在Rt △ABE 中， AB ＝AE 2－BE 2＝4cm ，如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝125cm ，第1题解图②∴y ＝125x (0<x ≤2.5)， ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）.★2. 已知：如图①，菱形ABCD 的边长为4 cm,P 、Q 分别是AB 、BC 两边上的动点，P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，均以1 cm/s 的速度沿AB 、BC 向点B 和点C 匀速运动，当点P 到达点B 时停止运动，点Q 也随之停止运动，设运动时间为t (s)，点P 到AD 的距离与点Q 到CD 的距离差的绝对值为y (cm)，且y 与t 的函数图象如图②所示.(1)∠A 的度数为 ，M 点的坐标所表示的实际意义是 ； (2)求证：PD =QD ;(3)当y=32时，求t的值.第2题图（1）解：60°，点P到AD的距离与点Q到CD的距离相等；【解法提示】如解图①，过B作BE⊥CD于E,由题图②知，运动时间t=0时，点P到AD的距离为0，点Q到CD的距离是菱形的高为23，即BE=3,在Rt△BCE中，BC=4,BE=23∴sin C=BEBC =32,∴∠A=∠C=60°，由题图②知，点M在t轴上，∴点M的坐标所表示的意义是点P到AD的距离与点Q到CD的距离相等；第2题解图①（2）证明：如解图②，连接BD,由（1）知，∠C=60°，第2题解图②∵在菱形ABCD中，BC=CD,∴△BCD是等边三角形，∴DB=BC=AD,∠DBQ=∠A=60°，由运动的过程知，BQ=AP，在△BDQ和△ADP中，BD AD DBQ ABD BQ AP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△BDQ ≌△ADP , ∴PD ＝QD ;(3)解：如解图③，过点P 作PE ⊥AD ,过点Q 作QF ⊥CD,第2题解图③由运动过程知，AP =BQ =t ,(0≤t ≤4) ∴CQ =4-t ,在Rt △APE 中，∠A =60°，AP =t , ∴PE =AP ·sin A =32t , 同理：FQ =32(4-t ), ∴y =33t )｜3t -2|,∵y=32,∴3｜t-2｜＝3，化简得2|t-2|=1,∴t=32s或t=52s.★3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC ＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动．M，N分别是AD，CD的中点，连接MN.设点D运动的时间为t.(1)判断MN与AC的位置关系；(2)求在点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．第3题图解：(1)MN∥AC.证明：在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，∴MN∥AC；(2)如解图①，分别取△ABC三边中点E，F，G并连接EG，FG，第3题解图①根据题意，可知线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积．∵AC＝6，BC＝8，∴AE＝3，GC＝4，∵∠ACB＝90°，∴S▱AFGE＝AE·GC＝12，∴线段MN扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6，∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝12AC ＝3，第3题解图②∵cos A ＝AH AD ＝ACAB ，AB ＝10， 即3AD ＝610. ∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ， 如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD .∵cos A ＝AM AC ＝AC AB ，即AM 6＝610， ∴AM ＝185， ∴t ＝AD ＝2AM ＝365.综上所述，当t ＝5或6或365时，△DMN 为等腰三角形．第3题解图③★4. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝14AB .(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△P AB＝S△OAB时，求△P AB周长的最小值．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠EAF＝∠ABG＝90°，∵点E，G分别是边AD，BC的中点，AF＝14AB，∴AE AB ＝12，AFBG＝12，∴AE AB ＝AF BG，又∵∠EAF＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF＝∠BAG，又∵∠BAG＋∠EAO＝90°，∴∠AEF＋∠EAO＝90°，∴∠EOA＝90°，即EF⊥AG；(2)解：EF⊥AG仍然成立；(3)解：如解图，过点O作MN∥AB分别交AD、BC于点M，N，连接P A，第4题解图∵P是正方形ABCD内一点，当S△P AB＝S△OAB，∴点P在线段MN上(不含端点)，作点A关于MN的对称点A′，连接BA′交MN于点P，此时P A＋PB＝P A′＋PB＝BA′最小，即△P AB的周长最小．∵正方形ABCD的边长为4，∴AE＝12AD＝2，AF＝14AB＝1，∴EF＝AE2＋AF2＝5，OA＝AE·AFEF ＝255，∵∠AMO＝∠EOA，∠EAO＝∠EAO，∴△EOA∽△OMA，∴AE OA ＝OA AM，∴OA2＝AM·AE，∴AM＝OA2AE ＝2 5，∴A′A＝2AM＝45，∴BA′＝A′A2＋AB2＝4265，故△P AB周长的最小值为4＋4265.★5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在线段BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD 上，MN交CD于点E.(1)求证：△AMN是等腰三角形；(2)求BM·AN的最大值；(3)当M为BC中点时，求ME的长．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠AMB，又∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；(2)解：如解图，作NH⊥AM于点H，第5题解图∵AN ＝MN ，NH ⊥AM ， ∴AH ＝12AM ，∵∠NHA ＝∠ABM ＝90°， ∠AMB ＝∠NAH ， ∴△NAH ∽△AMB ， ∴AN AM ＝AH BM ，∴AN ·BM ＝AH ·AM ＝12AM 2， 在Rt △AMB 中，AM 2＝AB 2＋BM 2＝9＋BM 2， ∵BM ≤2， ∴9＋BM 2≤13，∴AN ·BM ≤132， 即当BM ＝2时， BM ·AN 的最大值为132； (3)解：∵M 是BC 中点， ∴BM ＝CM ＝12BC ＝1， 由(2)得，AN ·BM ＝12AM 2， ∵AM 2＝32＋12＝10， ∴AN ＝5， ∴DN ＝5－2＝3， 设DE ＝x ，则CE ＝3－x ， ∵AN ∥BC ，∴DN CM ＝DE CE ，即31＝x 3－x ，解得x ＝94，即DE ＝94，∴CE ＝34， ∴ME ＝CE 2＋CM 2＝54.★6. 如图①，点O 在线段AB 上，AO ＝2，OB ＝1，OC 为射线，且∠BOC ＝60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒．(1)当t ＝12秒时，则OP ＝________，S △ABP ＝________； (2)当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；(3)如图②，当AP ＝AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP ＝∠B ，求证：AQ ·BP ＝3.第6题图(1)解：1，334；【解法提示】因为动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，故当t ＝12秒时，OP ＝12×2＝1.如解图①，过点P 作△ABP 的高h ，由于∠BOC ＝60°，OP ＝1，故h ＝OP ·sin 60°＝32，即S △ABP ＝12AB ·h ＝12(OA ＋OB )·h ＝12×(2＋1)×32＝334.第6题解图①(2)解：①∵∠BAP ＜∠BOP ＝60°， ∴∠A 不可能为直角； ②如解图②，当∠B ＝90°时，第6题解图②∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°，∴OP＝2OB＝2，即2t＝2，∴t＝1；③当∠APB＝90°时，如解图③，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90°.第6题解图③∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝3t，AD＝2＋t，BD＝1－t，∴BP 2＝BD 2＋PD 2＝(1－t )2＋3t 2，AP 2＝AD 2＋PD 2＝(2＋t )2＋3t 2，∵BP 2＋AP 2＝AB 2，∴(1－t )2＋3t 2＋(2＋t )2＋3t 2＝9， 即4t 2＋t －2＝0，解得t 1＝－1＋338，t 2＝－1－338(舍去)． 综上所述，当△ABP 是直角三角形时，t 的值为1或－1＋338； (3)证明：∵AP ＝AB ，∴∠APB ＝∠B .如解图④，作OE ∥AP 交BP 于点E ，第6题解图④∴∠OEB＝∠APB＝∠B，∵AQ∥BP，∴∠QAB＋∠B＝180°，又∵∠3＋∠OEB＝180°，∴∠3＝∠QAB，又∵∠AOC＝∠2＋∠B＝∠1＋∠QOP，已知∠B＝∠QOP，∴∠1＝∠2，∴△QAO∽△OEP，∴AQ EO ＝AOEP，即AQ·EP＝EO·AO，∵OE∥AP，∴△OBE∽△ABP，∴OE AP ＝BEBP＝BOBA＝13，∴OE＝13AP＝1，BP＝32EP，∴AQ·BP＝AQ·32EP＝32AO·OE＝32×2×1＝3.★7.如图①，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，在AD 边上取一点E，使AE＝3，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD上，点M落在矩形ABCD内或其边上，连接BM.(1)当四边形EFMN是正方形时，求AF的长；(2)设△BFM的面积为S，AF＝x.①写出S与x之间的函数关系式；②当S由最大值变到最小值时，求点M运动的路线长．第7题图解：(1)在正方形EFMN中，∠FEN＝90°，EF＝EN；∴∠DEN＋∠AEF＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEN＝∠AFE，在△DEN与△AFE中，∠D=∠A，∠DEN=∠AFE，EN=EF，∴△DEN≌△AFE(AAS)．∴AF＝DE＝8－3＝5，∴AF的长为5；(2)①如解图①，过点M作MH⊥AB于点H，连接NF.第7题解图①在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠DNF＝∠NFB.∵四边形EFMN是菱形，∴NE∥MF，NE＝MF，∴∠ENF＝∠MFN，∴∠DNF－∠ENF＝∠NFB－∠MFN，即∠DNE＝∠MFB，在△DEN与△HMF中，∠D=∠MHF=90°，∠DNE=∠MFB，EN=MF，∴△DEN≌△HMF(AAS)，∴MH＝DE＝5，又∵BF＝16－x，∴S＝12BF·MH＝12(16－x)×5＝－52x＋40；②当点D与N重合时，S最大(如解图②)，第7题解图②此时DE＝EF＝5，由勾股定理得AF＝4，当点M落在BC上时，S最小(如解图③)，第7题解图③由①得MB＝DE＝5，∵点M到AB的距离是定值5，∴点M运动的路径是一条线段M1M2(如解图④)，第7题解图④∴M1M2＝F1B＝16－4＝12.∴点M运动的路线长为12.★8.如图①，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ 的面积为y(cm2)，y关于x函数图象由C1，C2两段组成，如图②所示．(1)求a的值；(2)求图②中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时，△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．第8题图解：(1)如解图①，过点P作PD⊥AB于点D.第8题解图①∵∠A＝30°，P A＝2x，∴PD＝P A·sin30°＝2x·12＝x，∴y＝12AQ·PD＝12ax·x＝12ax2.由图象得，当x＝1时，y＝12，则12a·12＝12，∴a＝1；(2)如解图②，当点P在BC上时，PB＝5×2－2x＝10－2x.第8题解图②∴PD＝PB·sin B＝(10－2x)·sin B，∴y＝12AQ·PD＝12x·(10－2x)·sin B.由图象得，当x＝4时，y＝43，∴12×4×(10－8)·sin B ＝43，∴sin B ＝13， ∴y ＝12x ·(10－2x )·13＝－13x 2＋53x ； (3)令12x 2＝－13x 2＋53x ， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当x ＝2时，函数y ＝12x 2的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋53x ， 解得x 1＝2，x 2＝3.∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.★9.如图①，在长方形ABCD 中，AB =8，AD =6，动点P 、Q 分别从点D 、A 同时出发向点C 、B 运动，点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动.设运动的时间为t (s).(1)当t=2时，PQ的长为；(2)在运动过程中，若△BPQ为等腰三角形，求相应时刻的t值；(3)如图②，连接BD，是否存在某个时刻，使得PQ垂直平分BD?若能，求t的值；若不能，说明理由.第9题图解：（1）如解图①，作PH⊥AB于H，第9题解图①由题意得:DP=4,AQ=2,∴QH=2,又∵PH =AD =6, 由勾股定理得： PQ =PH 2+QH 2=210; (2)当PQ =PB 时， QH =BH , ∴2t -t =8-2t ，整理得t +2t =8,解得t =38;当PQ =BQ 时，QH 2+PH 2＝PQ 2＝BQ 2，即（2t -t ）2+62=(8-t )2,解得t =74;当BP =BQ 时，BH 2+PH 2＝BP 2＝BQ 2，即（8-2t ）2+62=(8-t )2,方程无解； 综上所述，当t =38或47时，△BPQ 为等腰三角形； （3）不存在.如解图②，第9题解图②假设PQ垂直平分BD,则QB=QD，PD=PB,7,在Rt△ADQ中，t2+36=(8-t)2,解得：t=425, 在Rt△CPB中，（8-2t）2+36=(2t)2,解得t=8∴不存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD.★10. 如图①，矩形ABCD中，AB=7 cm，AD=4 cm,点E 为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF＝a cm.点P从A点出发，沿AB边向点B以2 cm/s的速度运动.连接PE，设点P运动的时间为t s，△P AE的面积为y cm2.当0≤t ≤1时，△P AE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图②所示.连接PF，交CD于点H.(1)t的取值范围为s，AE＝cm;(2)如图③，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连接AM，当a为何值时，四边形P AMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t;(3)如图④，当点P出发1 s后，AD边上另一动点Q从E 点出发，沿ED边向点D以1 cm/s的速度运动.如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连接PQ，cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，QH.若a＝43请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由.第10题图解：（1）0≤t≤3.5，1；【解法提示】当P运动到点B时，t=3.5 s,∴t 的取值范围为0≤t ≤3.5；由题意知，y ＝21AP ·AE ＝21×2t ·AE ＝AE ·t ， 将（0.5，0.5）代入y ＝AE ·t ，得AE ＝1.(2)若四边形P AMH 为菱形，则P A ∥HM ，且P A =HM ，AM =P A ，∵∠HDF ＝∠P AF ＝90°，∠HFD =∠PF A ， ∴△P AF ∽△HDF , ∴12FD HD AF PA ==, ∵DF =a , ∴AF =4+a , ∴412a a +=, ∴a =4.在Rt △ADM 中，AM =P A =2t ,∵△MDF 是由△HDF 沿线段DF 翻折而得， ∴DM ＝HD ＝12P A ＝t ， ∵AM 2=DM 2+AD 2,即4t 2=t 2+42,解得t =433或t=-433（舍去），∴当a =4时，四边形P AMH 为菱形，此时点P 的运动时间为43s. (3)△PQH 等构成直角三角形，理由如下：若a =34时，由题意得，AQ =1+1×（t -1）=t ,QD =4-t ,∵413=444+3HD DF PA AF ==, ∴HD =41×2t =2t,过P 作PG 垂直于CD ,垂足为G ，如解图①，第10题解图①则GH =2t -2t=23t , PQ 2=P A 2+AQ 2=5t 2,QH2=QD2+HD2=(4-t)2+14t2,PH2=PG2+HG2=16+94t2,若△PQH为直角三角形，①当Q为直角顶点时，根据勾股定理可得PQ2+QH2＝PH2，即5t2+(4-t)2+14t2=16+94t2,解得t=2或t=0(舍去)；②当H为直角顶点时，根据勾股定理可得PH2+HQ2＝PQ2，8或t=-8(舍去)；即16+94t2+(4-t)2+14t2=5t2，解得t=3③当P为直角顶点时，根据勾股定理可得PQ2+PH2＝QH2，4(舍去)或t=0(舍去). 即5t2+16+94t2=(4-t)2+14t2,解得t=-38时，△PQH为直角三角形；∴当t=2或t=3。