二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
y P
o
M Qx
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos s in
3(为参数)
思考：
这里定点Q在圆O外，你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在 圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹是什么？
2、指出参数方xy程 23co2ssin5(为参数)所
表示圆的圆心坐标径、，半并化为普通方
(x5)2(y3)24
xrrcos 是 3、4， 圆 则 y圆 2r 心 rsi坐 n(_标 为 _（_是 2参 _，_数 _1_）r_， ___0_)_的直径
4、P(x,y)是曲xy线 2si ncos (为参)上 数任
(2)、因为点 M3(6,a)在曲线C上，所以
63t
a
2t2
解得t 1
2,a
9
所以，a 9
2、方程xy scions2(为参数)表示的曲线上
的一个点的坐标(是C )
A、(2,7)，B、(1, 1)，C、(1, 1)，D(1,0)
32
22
3、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为 参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 ( D )
在过去的学习中我们已经掌握了
一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
到OM的位置时，OM0转过的角度。
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点 的的 参圆 数方程，它对应 普通方程x2是 y2 r2,那么，圆心o在 (x点 0, y0) 半径为 r的圆的参数方程又 么是 样怎 的呢？
xy xy00 rrcsions(为参 ) 数
对应的普(x通 x0)方 2(y程 y0)为 2r2
y r
即
x y
r cos t(t为参数 r sin t
)
这就是圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方
程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀
速圆周运动的时刻 )
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x y
r cos r sin
(为参数)
这也是圆心在原O点，半径为r的圆的参数方程
其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转
意一 ,则 点 (x5)2(y4)2的最大（值 A 为 ）
A、 36 C、 26
B、 6 D、 25
解：由参数方程可得
( x 5) 2 ( y 4 ) 2 (cos 3) 2 (sin 4 ) 2
6 cos 8 sin 26
10 ( 3 cos 4 sin ) 26
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
y A
o
M(x,y)
x
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
x y20
曲线xy
2cos 2sin
(为参数)的普通方程为x2
A、一个定点 C、一条抛物线
B、一个椭圆 D、一条直线
请用自己的语言来比较一下参数方 程与普通方程的异同点
2、圆的参数方程
y
M(x,y)
r
o
M0 x
如果在时刻 t，点 M转过的角度是 ，坐标是 M ( x, y)，那么 ＝t，设 OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cos t
x r
, sin
t
xy gf((tt))......................2.)..(
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于 参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。
5
5
10 sin( ) 26 其中 tan 3
4
sin( ) [ 1,1]
( x 5) 2 ( y 4) 2的最大值为 36
5、若已知直线程 的为 参 xy数 11tt方 (t为参)数
求它与曲 xy线 22csions(为参)的 数交点。
解：参数方程xy
1 t(t为参数)的普通方程为 1t
(1)、判断M点 1(0,1),M2(5,4)与曲C线 的位置关系
(2)、已知M点 3(6,a)在曲C线 上，a求 的值。
解(： 1)把点M1的坐标 (0,1)代入方程组，t解 0得 所以M1在曲线 C上。
把点M2(5,4)代入方程组，得 54到 32tt2 1 这个方程组无解，点M 所2不 以在曲C线上。
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O 作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
练习 1：
以初速v度 0发射炮弹，炮弹的 角发 为， 射不
计空气阻力，试写 弹出 曲炮 线的参数方程。
y
v0
o
x
弹道曲线的参数方程为
x y
v0 v0
cos t sin t1 2Biblioteka gt2(t为参数)
其中g是重力加速度 (取g 9.8米/秒2)
例1、已知曲 C的线参数方 xy程32tt,2
(t为参)数 1.