]
π
4 π
6
1cos2θ 2
dθ
4
θ π
6
0
1x
.
例4 圆ρ 1被心形线ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两部分
的面积。
y
=1+cos
S =
(Leabharlann cosθ)
dθ
s
s2
s1
o
1
s s
x
s s
. . . . . .
例5.求由双纽线
(x y ) a(x y )
所围而且在圆周
x
y
a2 2
内部的面积。
令 r = 0,
θ k
双纽线化成极坐标 r a cos θ
由对称性
S = 4
π a2 12 2
+
π
4 π
1a 2
2cos2θ
dθ
6
令r a ,
y
θ k
θ π 4 π
(
)a
θ 6
0
a
ax
. . . . .
ax
.
6. 圆的渐伸线
一直线沿圆周滚转（无滑动） y 直线上一个定点的轨迹
参数方程为
x a(cost t sint)
y
a(sint
t
cos t)
0
a
x
再看一遍
.
y
0
a
x
y
0
a
x
.
y
0
a
x
.
参数方程为
x a(cost t sint)
y
a(sint
t
cos t)
y
M (x,y)
a
x
.
x
来看动点的慢动作
参数方程
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a
at
0
a
a
2a
x
.
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OM sin t y OC OM cos t
a(t sin t)
x
3
=1+cos
. . . . .
例3.求 曲 线 r sinθ 及 r 2 cos θ 分 别 所 围 成 的 图 形 的 公共
部分的面积
y
令 cos2 = 0, θ k
由 sin > 0, θ
联立后得交点坐标
θ ,
θ
[ S = 2
π 6
1
2 sin2
θ
dθ
02
θ π
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
8.双纽线 FF 2a, 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a2 )
2 r 2 a 2 2ra cos 2 r 2 a 2 2ra cos
( )2
(r 2
a2 )2
4r 2a 2 cos 2
a4
即
r 2 2a 2 cos 2
0
a
.
r
. .
双曲螺线
r a 当 从 0 –
0
a
.
r
.
例2 求曲线 r cosθ 及 r cosθ 分别所围成的图形的公共
部分的面积
由 3cos =1+cos
r =3cos
y
得交点的坐标 θ
S = 2
π 3
1 (1
cosθ
)2
dθ
02
π
2 π
9 cos2 θ 2
dθ
π
o3
S
2
3
由对称性
S
r
(
)d
a cosd
2a 2
y
4
0
2a x
. . . .
9. 阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
0
r
.
0
请问：动点的轨迹什么样？
r
.
再看一遍
0
r
.
0
r
.
阿基米德螺线 r =a
常见曲线的参数方程
主 目 录（1–10 ）
1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线 3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线 9 阿基米德螺线 10 双曲螺线
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的 曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
0
r
.
阿基米德螺线 r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
r
.
阿基米德螺线 r =a 当 从 0 –
0
r
.
10 双曲螺线 r a 这里 从 0 +
lim r 0 θ
极点是曲线的渐近点 y rsin a sin
lim y a
θ 0
y a是曲线的渐近线
o
P
x
2a
.
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
y
.
–a
o
ax
来看动点的慢动作
y
–a
o
ax
来看动点的慢动作
.
直角坐标方程为：
2
2
2
x3 y3 a3
y
P
. .–a
极坐标方程为
x a cos3
y
a
sin3
0 2
o
故在原点，曲线自身相交.
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
(- t , t -1)
4. 当 t 由 , 动点由(0,0) (,-) 当 t 由 , 动点由( ,) (0,0)
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0)
依逆时针方向画出叶形线.
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
直角系方程
cos2 0
(0,
) ( 3
,
5
)
( 7
,2
)
y
4
44
.4
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 )
P
F (a,0)
0
r
F (a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 3 , 5 , 7
. .
44 4 4
例1 求双纽线 r 2 2a2 cos 2 所围面积
a
t
t
0
a
x
.
试由这些关系推出曲线的方程
7.狄卡儿叶形线 x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
当 t , ( x, y) (0,0) 当 t 0, 也有( x, y) (0,0)
a(1 cos t)
这就是旋轮线的参数方程。
2. 旋轮线也叫摆线（单摆） 将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
.
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
3. 旋轮线是最速降线 最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
A B
A B
A
B
滑板的轨道就是这条曲线
.
y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑 动地滚动，动圆圆周上 任一点所画出的曲线。
a
o
a
x
y
.
a
o
来看动点的慢动作
a
x
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r