2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
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46
谢谢您的观看与聆听
Thank you for watching and listening
0
r
.
38
阿基米德螺线 r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
r
.
39
阿基米德螺线 r =a 当 从 0 –
0
r
40
.
10 双曲螺线 r a 这里 从 0 +
limr 0 θ
极点是曲线的渐近点
yrsin a sin
l i my a θ0
y a是曲线的渐近线
0
a
.
r
47
.
.
.
43
例3.求曲r线 sinθ及r2 cosθ分别所围成的共 图形
部分的面积
y
令 cos2 = 0, θ k
由 sin > 0, θ
联立后得交点坐标
θ ,
θ
[ S = 2
π 6
1
2s
i
n2θ
dθ
02
θ π 4 θ π 6
]
π
4 π
6
1co 2
s
2θ
dθ
0
1x
44
.
来看动点的慢动作
ax
.
22
直角坐标方程为：
2
2
2
x3 y3 a3
. .–a
极坐标方程为
x a cos 3
y
a
sin3
0 2
y
P
o
ax
.
23
6. 圆的渐伸线
一直线沿圆周滚转（无滑动） y 直线上一个定点的轨迹
参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
0
a
x
常见曲线的参数方程
1
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总体概述
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2
主 目 录（1–10 ）
1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线 3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线 9 阿基米德螺线 10 双曲螺线
由对称性
S
r()d
acosd
2a2
y
4
0
2a x
.
32
. .
.
9. 阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
33
0
r
.
34
0
请问：动点的轨迹什么样？
r
.
再看一遍
35
0
r
.
36
0
r
.
37
阿基米德螺线 r =a
r22a2co2s
co2s0 (0,) (3,5) (7,2)
y
4 4 4 .4
直角系方程
(x 2y2)2 2 a 2(x 2y2)
P
F(a,0)
0
r
F(a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
3 5 7
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =
, 4
, 4
, 4
4
31
. .
例1 求双纽线 r22a2co2s所围面积
3. 令 y = t x, 得参数式
当t, (x,y) (0,0) 当t 0, 也(有 x,y)(0,0)
故在原点，曲线自身相交.
x
3 at t3 1
y
3 at 2 t3 1
( -t, t-1)
4. 当 t由 , 动(点 0 ,由 0 (), -) 当t由 , 动点 ( 由 ,) (0,0)
3
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的 曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
a
x
4
.
x
来看动点的慢动作
5
参数方程
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a
at
0
a
a
当t 由 ,
动点(0由 , 0)(0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
29
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
30
8.双纽线 FF2a, 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a2)
22 rr22 a a 2 2 2 2 r ra c c ao o s s ( ) 2 ( r 2 a 2 ) 2 4 r 2 a 2 c2 o a 4 s 即
24
再看一遍
.
y
0
a
x
25
y
0
a
x
.
26
y
0
a
x
.
27
参数方程为
xa(cotstsint) ya(sint tcots)
y
M (x,y)
a
t
0
a
试由这些关系推出曲线的方程
t x
.
28
7.狄卡儿叶形线 x 3y3 3 ax 0y (a0 )
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
.
. 41
双曲螺线
r a 当 从 0 –
0
a
.
r
.
42
例2 求曲r线 coθs及rcoθs分别所围成的 共图形
部分的面积
由 3cos =1+cos
r =3cos
y
得交点的坐标 θ
S = 2
π 3
1(1coθs)2dθ
02
π
o3
S
2
π
2 π
3
9cos2θ dθ 2
x
3
=1+cos
.
.
11
3. 旋轮线是最速降线 最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
12
A B
13
A B
14
A
B
滑板的轨道就是这条曲线
.
15
y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑 动地滚动，动圆圆周上 任一点所画出的曲线。