第二节随机变量及其分布第二节随机变量及其分布一、随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量。

常用大写字母等表示，它们的取值用相应的小写字母x, y, z 等表示。

假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列的个数点 (见图1.2-1) ，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。

假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间 (a,b)( 见图1.2-2) ，则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量，其中a可以是,b 可以是+ 。

[例1.2-1][例1.2-1] 产品的质量特性是表征产品性能的指标，产品的性能一般都具有随机性，所以每个质量特性就是一个随机变量。

例如:(1) 设x是一只铸件上的瑕疵数，则x是一个离散随机变量，它可以取0,1,2，…等值。

为了方便，人们常用随机变量x的取值来表示事件，如“x=0”表示事件“铸件上无瑕疵”；“x=2”表示事件“铸件上有两个瑕疵”；"x>2"表示事件“铸件上的瑕疵超过两个"等等。

这些事件可能发生，也可能不发生，因为x取0，1，2 …等值是随机的。

类似地，一平方米玻璃上的气泡数、一匹布上的疵点数、一台车床在一天内发生的故障数都是取非负整数 {0，1，2，3，…}的离散随机变量。

(2) 一台电视机的寿命x(单位:小时)是在[0，∞)上取值的连续随机变量。

"x=0" 表示事件"一台电视机在开箱时就发生故障"；"x 10000" 表示事件："电视机寿命不超过10000 小时"；"x>40000" 表示事件"电视机寿命超过40000小时"。

(3) 检验一个产品，结果可能是合格品，也可能是不合格品。

设x表示检验一个产品的不合格品数，则x是只能取0或1两个值的随机变量。

"x=0"表示产品是合格品，"x=1" 表示产品是不合格品。

类似地，若检验10个产品，其中不合格品数x是仅可能取0，1，…，10等11个值的离散随机变量。

更一般的，在n个产品中的不合格品数x是可能取0，1，2，…，n等n+1 个值的离散随机变量。

二、随机变量的分布二、随机变量的分布(p15-20)虽然随机变量的取值是随机的，但其本质上还是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。

认识一个随机变量x的关键就是要知道它的分布，分布包含如下两方面内容:(1) x 可能取哪些值，或在哪个区间上取值。

(2) x 取这些值的概率各是多少，或x在任一区间上取值的概率是多少?下面分离散随机变量和连续随机变量来叙述它们的分布，因为这两类随机变量是最重要的两类随机变量，而它们的分布形式是有差别的。

(一) 离散随机变量的分布离散随机变量的分布可用分布列来表示，比如，随机变量x仅取n个值: ,随机变量取的概率为取的概率为，…,取的概率为p n 。

这些可用一张表清楚地表示:或用一个简明的数学式子表示: 作为一个分布，满足以下两个条件: 满足这两个条件的分布称为离散分布，这一组也称为分布的概率函数。

[例1.2-2 ][例1.2-2 ] 掷两颗骰子，点数分布的样本空间为:考察与这个随机现象有关的一些随机变量:（1）设x表示“掷两颗子骰子，6点出现的个数”，它的分布列为：（2）设y表示“掷两颗子，出现的点数之和”这些随机变量x, y 都是各从一个侧面表示随机现象的一种结果，每个随机变量的取值都是随机的，但其分布告诉我们该随机变量取每个值的概率，使人们不仅对全局做到心中有数，而且还看到了取哪些值的可能性大，x取哪些值的可能性小，比如：x取0可能性最大，x取2的可能性最小；y取7的可能性最大，y取2或12的可能性最小；这些分布中的概率都可用古典方法获得，每个概率都是非负的，其和均为1。

[例1.2-3][例1.2-3]设在10个产品中有2个不合格品，从中随机取出4个，其中不合格品数x 是离散随机变量，它仅可取0,1,2 等三个值。

x取这些值的概率为 (详见例1.1-4)：具体计算后可得如下分布列:从表中可见，事件 "x=l" 出现的机会最大。

对同样的问题，若用放回抽样，则从10个产品(其中有2个不合格品)中随机取出4个，其中不合格品数y是另一个随机变量，它可取0,1,2,3,4 等五个值。

y取这些值的概率为(详见例1.1-6):m=0,1,2,3,4具体计算后可得如下分布列:这个分布显示了y取哪些值概率大，哪些值概率小。

还可计算有关事件的概率，比如：例[1.2-4][例1.2-4]某厂生产的三极管，每100 支装一盒，记x为一盒中不合格品数，厂方经多次抽查，根据近千次抽查的记录，用统计方法整理出如下分布：从这个分布可以看出，最可能发生的不合格品数在1到3之间，而超过5个不合格品的概率很小。

实际上，这两个事件的概率分别为：(二) 连续随机变量的分布(二) 连续随机变量的分布连续随机变量x的分布可用概率密度函数p(x)表示。

下面以产品的质量特性x，(如加工机械轴的直径)为例来说明p(x)的由来。

假定我们一个接一个地测量产品的某个质量特性值x, 把测量得到的x值一个接一个地放在数轴上。

当累积到很多x值时，就形成一定的图形，为了使这个图形得以稳定，把纵轴改为单位长度上的频率，由于频率的稳定性，随着被测质量特性值x的数量愈多，这个图形就愈稳定，其外形显现出一条光滑曲线。

这条曲线就是概率密度曲线，相应的函数表达式p(x)称为概率密度函数，它就是一种表示质量特性x随机取值的内在统计规律性的函数。

概率密度函数概率密度函数p(x)有多种形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形状不同。

这些不同的分布形式反映了质量特性总体上的差别，这种差别正是管理层应该特别关注之处。

这里应强调的是:图上的纵轴原是“单位长度上的频率”，由于频率的稳定性，可用概率代替频率，从而纵轴就成为 "单位长度上的概率"，这就是概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线。

概率密度函数p(x)是连续随机变量特有的概念，它有如下性质。

(1)p(x)一定位于x轴上方，即p(x) ＞ 0。

(2)p(x)与x轴所夹的面积恰好为1，即(3) 连续随机变量(3) 连续随机变量x在区间[a, b] 上的取值的概率为概率密度曲线下，在区间[a, b] 上所夹的曲边梯形面积 (见图1.2-3) 。

(4) 连续随机变量x取一点的概率为零，即p(x=a)=0，因为在一点上的积分永远为零。

(5)(5) ,这是因为,后者为零即得。

(6) 连续随机变量x 的分布函数f(x) 可用其密度函数算得，即所谓分布函数f(x) 就是概率密度函数从负无穷到x的积分，它表示随机变量取值从负无穷到x的概率，或相应区间的积分面积。

[例1.2-5 ][例1.2-5 ]考试得分是一个随机变量，下面是三个不同地区同一课程考试得分的概率密度函数 (见图1.2-4) 。

得分可以取0到100 分中的任意值，及格是50分，对每一地区，及格率大约是0.5 呢?还是大大超过0.5 ？还是大大低于0.5?解:在图1.2-4 上的50分处引一条垂线，则及格概率是:从50到100 之间的面积从图1.2-4 上可以看出: 地区(a) 的及格概率大大超过0.5 。

图1.2-4 三个地区考试得分的概率密度函数地区(b) 的及格概率大大低于0.5 。

地区(c) 的及格概率约为0.5 。

〔例1.2-6 〕〔例1.2-6 〕用指数函数表示的概率密度函数称为指数分布，它是一个常用分布，记为exp(λ),其中λ＞0。

实际中不少产品发生失效的时间，或发生故障后需要维修的时间都服从指数分布，例如某厂生产的推土机发生故障后的维修霎时间t（单位：分）服从指数分布exp（0.02）。

其概率密度函数为：现转入现转入寻求一些事件的概率，在上述假定下，该推土机在100 分钟内完成维修的概率是图1.2-5 上左侧的一块阴影面积，这块面积可用积分计算：在计算面积时，一条直线的面积为0，在这个例子中p（t＝100）＝0即推土机完成维修时间不早不迟恰好在100 分钟的概率为0。

该推土机发生后在100 到300 分钟内完成维修的概率为：类似的：上述计算结果表明：此种推土机的86.47% 故障可在100 分钟内修好，有13.29% 的故障可在100 分钟到300 分钟修好，而超过300 分钟才能修好的故障只有0.24% 。

三、随机变量分布的均值、方差与标准差三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量x的分布 (概率函数或密度函数)有几个重要的特征数，用来表示分布的集中位置 (中心位置)和散布大小。

1.均值：用来表示分布的中心位置，用e(x) 表示。

譬如e(x)=5 ，意味着随机变量x的平均值为5。

对于绝大多数的随机变量，在均值附近取值的机会较多。

它的计算公式是:其中xi,pi，和p(x)与上一小段中符号含义相同，这里不再重复。

2．方差：用来表示分布的散布大小，用var(x) 表示，方差大意味着分布的散布程度较大，也即比较分散，方差小意味着分布的散布程度小，也即分布较集中。

方差的计算公式是:3．标准差：方差的量纲是x的量纲的平方，为使表示分布散布大小的量纲与x的量纲相同，常对方差开平方，记它的正平方根为或，并称它为x的标准差:由于与x的量纲相同，在实际中更常使用标准差表示分布的散布大小，但它的计算通常是通过先计算方差，然后开方获得。

[例1.2-7][例1.2-7]现在来计算[例1.2-2]的有关分布的均值、方差和标准差。

在[例1.2-2]中随机变量“掷两粒骰子，点数之和y”的均值、方差和标准差分别为：[例1.2-8][例1.2-8]看图识方差(与标准差)。

图1.2—6(a) 、(b) 、(c) 、(d)上画出四个离散分布的线条图，其中垂线高度就是相应的概率。

现问这四个分布中哪个方差大，哪个方差小。

由方差的定义知：其中。

若要方差小，则和式中每一项都要小，这要求：(1) 若偏差-e(x) 的绝对值小，则相应概率可以大一些；(2) 若偏差-e(x) 的绝对值大，则相应概率必定要小。

这意味着：离均值e(x) 近的值发生的可能性大，远离均值e(x) 的值发生的可能性小，正如图1.2—6(d) 所示。

反之，若要方差大，则和式中必有某些乘积项较大，也就是说，有若干个大偏差-e(x) 发生的概率大，或者说远离均值e(x) 的值发生的可能性大，正如图1.2—6(a) 所示。

从上述说明可以看出图1.2—6上四个离散分布的方差(从而标准差)从上到下是逐渐减小的。

类似地，对连续分布也有类似解释，故图1.2—6(e) 、(f) 、(g)、(h) 上四个连续分布的方差(或标准差)从上到下也是逐渐减小的。