玉林师范学院本科生毕业论文反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学学生班级2010级1班姓名学号201004401137指导教师单位数学与信息科学学院指导教师姓名指导教师职称副教授数学与应用数学2010级1班梁玉漫指导老师钟镇权摘要数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点.摘要部分说明：“摘要”是摘要部分的标题，不可省略.标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅.论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。

内容要包括目的、方法、结果和结论。

单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。

文中不允许出现插图.摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项.摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字.摘要正文后，列出3－5个关键词。

“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。

关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词.关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑体，小四.Mathematics and Applied Mathematics 2007-2Supervisor Su DerongAbstractStudy about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application.This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound.Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form目 录引言.................. ...........................................................................1 1 等价标准形.................................................................................1 1.1 等价标准形的定义与性质.........................................................1 1.2 在矩阵的分解表示中的应用......................................................2 1.3 等价变换的保秩性..................................................................4 2 相似变换下的若尔当标准形............................................................5 2.1 相似变换下的若尔当标准形的定义与定理....................................5 2.2 相似变换的保特征性...............................................................5 2.3 在化简数字矩阵中的应用.......................................... ............9 3 合同标准形.................................................................................10 3.1 合同标准形的定义..................................................................10 3.2 合同标准形的保定性...............................................................11 4 几种标准形间的关系.....................................................................13 4.1 基本概念..............................................................................13 4.2 关系图表..............................................................................13 4.3 几种标准形的应用..................................................................13 小结................................................ .............................................14 致谢............................................. ................................................14 参考文献....................................... (15)注：目录是自动生成的注：标题“目录”，字体：黑体，字号：三号。

章、节标题和页码，字体：宋体，字号：小四。

1引言矩阵问题的研究既是学习经典数学的基础，又是一门最有使用价值的数学理论.它不仅是数学的一个重要分支，而且也已经成为现代各科技领域处理大量问题强有力的工具.特别是计算机的广泛应用，更是为矩阵问题的研究开辟了广阔的前景.而其中的标准形问题的研究无论是理论上还是应用上都有十分重要的地位.在线性代数，高等代数的各种教材中，都有大量篇幅来讲述矩阵的各种标准形，例如等价标准形，合同标准形，概念，定理和例子加以说明.1.1 等价标准形的定义与性质定义1.1 如果矩阵B 可以从矩阵A 经过一系列初等变换而得到，则称矩阵A 与B 是等价的.也就是说，设A,B 是数域F 上的两个n ×m 阶矩阵，若存在数域F 上的可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q,使PAQ=B, 则称矩阵A 与B 是等价的.定义1.2 设A 是一个m ×n 矩阵，若秩（A ）=r,则A 等价于矩阵,⎥⎤⎢⎡O Er称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O OO E r为A 的等价标准形. 性质1性质2 ()().~B R A R B A =⇔性质3 B A B A ,~⇔有相同的标准形.性质4 ⇔B A ~存在可逆阵P 与Q,使得.PBQ A =性质5 设A 是n m ⨯矩阵且(),r A R =则存在m 阶可逆阵P 与n 阶可逆阵Q,使得O O EP A r⎤⎢⎣⎡=2n1.2 在矩阵的分解表示中的应用集合可以按等价关系来分类，而矩阵按一定的等价关系进行分类的结果恰好就是矩阵的各种标准形.按分类规划标准形，可解决具体问题，举例如下：例1.1 求证：数域F 上任一秩为r 的矩阵均可表为r 个秩为1的矩阵和. 矩阵Q .212211r rr O OA ⎥⎦⎢⎣=这里，.,,2,1,1)(11r i Q E P A ii i ===--）秩（秩任一个标准形都与原矩阵有一个相关联的分解表达式.例如：等价分解Q O O O E P A r⎥⎦⎤⎢⎣⎡=, 其中P,Q 为可逆阵.合同分解对称阵(),,,'1P a a Pdiag A n =其中P 为可逆阵.相似分解复方阵,1-=PJP A 其中J 为若而当标准形.如此等等，他们是研究分解问题的基础.例1.2 求证：数域F 上任一秩为r 的m ×n 阶矩阵A 均可表为m ×r 阶列满矩阵B 与r ×n 阶行满秩矩阵C 的乘积.证明 因秩（A ）=r,所以存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q,使PAQ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O OO Er. 所以,A= 11--⎥⎦⎤⎢⎣⎡Q O OO EP r=,)(11--⎥⎦⎤⎢⎣⎡Q O E O E P r r令B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O E P r 1,,)(1-=Q O E C r则,C B A ∙=且B 为m ×r 阶列满秩矩阵，C 为 r ×n玉林师范学院本科生毕业论文3阶行满秩矩阵.2 相似变换下的若尔当标准形2.1 相似变换下的若尔当标准形的定义与定理.定义2.1 设A,B 都是数域F 上的n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P,使,1B AP P =-则称A 与B 相似，或称A 相似于B.2.2 图的格式说明每幅插图均应有中英文图题，由图号和图名组成。