如图,假设y轴沿梁横截面的纵向对称轴, z轴是复合梁的中性轴。
y
y
根据平截面假设，横截面上
距离中性轴y处的纵向正应变
1 E1,A1 z
2 E2,A2
沿截面高度线性变化。
y
表示中性层的曲率
(a)
(b)
三、复合梁的强度
当材料处于线弹性范围时, 由单向应力状态的胡克定律, 截面1和 截面2上的弯曲正应力分别为:
1 M
E1I1 E2I2
E2
M
E1 E2
I1
I2
M
E2 nI1
I2
M E2 I z
I z nI1 I2 n y2dA1 y2dA2 y2dndA1 y2dA2
A1
A2
A1
A2
E1
E2
ydA1 ydA2 y ndA1
A1
A2
A1
ydA2 0
A2
可见,如果把截面1上各点的y坐标保持不变,把截面1的宽度乘以n, 那么我们就可以把复合梁等效为弹性模量为E2的匀质梁。
三、转换截面法
(便于确定中性轴位置并求出惯性矩大小)
由前面的推导有:
E1 ydA1 E2 ydA2 0
A1
A2
1
M
E1I1 E2I2
Hale Waihona Puke 令 n E1 称为模量比 E2
将上面两式变形:
E1
E2
ydA1 ydA2 y ndA1
A1
A2
A1
ydA2 0
A2
三、 复合梁的强度
EIZ
由(a)(b)式得 M z y
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
y z
o
dA
mn dx
Mzy Iz
max
Mz Wz
M
max
M x max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离 IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
二 梁的正应力强度计算
2 梁的正应力强度条件
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax IZ
M WZ
max
M max ymax IZ
M max Wz
max
M max WZ
三、 复合梁的强度 一、复合梁
由两种或者两种以上的材料构成的梁, 称为复合梁(组合梁)。
(a)双金属梁
(b)夹层梁
(c)钢筋混凝土
三、复合梁的强度
二、复合梁的基本方程
如图(a)所示复合梁, 材料1与材料2的弹性模量分别为E1与E2, 相应的横截面积分别为A1与A2。梁在纵向对称面内承受纯弯曲, 横截面上的弯矩为M。
12
上下表面的最大拉压应力：
max
Myc Iz
20N.m 1257.4 1012
m4
6.07 103 m 96.55Mpa
max
M n
Iz
h
yc
2.5
20N.m 1257.4 1012
m4
3.93103 m
156.27Mpa
弯曲应力
四 梁的剪应力强度计算
(a)
(b)
三、复合梁的强度
反之，也可以改变截面2的弹性模量，假设 E1 E2
n' E2 E1
截面1和截面2的弯曲正应力公式为：
y
1
My Iz
y
2
n'
My Iz
1 E1,A1
1 E1,A1
z
z
2 E2,A2
2 E1,n´A2
(a)
(b)
三、 复合梁的强度
解： 等效截面法,截面1保持不变，
E2 n 2.5 E1
仍与变形后梁的轴线垂直，
只是转了一个角度。
单向受拉、压假设
设各纵向纤维之间互不挤压，每一根 纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。
一 基本概念与假设
F
F
mn
o1
o2
m
n
中性层
中性轴
3 中性层、中性轴
由连续性假设， 存 在着一层既不伸长，也不 缩短的纵向纤维层，称为 中性层。
中性层与横截面的交 线称为中性轴。梁弯曲时， 梁横截面绕各自中性轴旋 转。
1
E1 y
2
E2 y
由于两种材料的弹性模量不同, 所以尽管线应变沿高度线性变化, 正应力在两截面交界处发生突变。
y
y
y
1 E1,A1
z
2 E2,A2
(a)
(b)
(c)
7.4 复合梁的强度 中性轴的位置，由轴力为零确定：
1dA1 2dA2 FN 0
A1
A2
中性层的曲率由弯矩平衡得到: y1dA1 y 2dA2 M
弯曲应力
二 梁的正应力强度计算
F
mn
F
1 纯弯曲时梁的正应力公式推导
mn
y
M
M z 中性轴
m
n
dA y z
o
mn dx
o
d
y
dx
yd d y
d
E
E
y
(a)
FN
dA
A
E
ydA 0
A
M y
zdA
A
E
AzydA
0
M z
ydA
A
E
y2dA EIZ
A
1 M Z (b)
截面1宽度做调整后的截面我们称为实际截面的等效截面或相当 截面。
三、复合梁的强度
用等效截面替代实际截面后，可以根据等效截面求复合梁弯曲 时的中性轴位置以及惯性矩的大小。
截面1和截面2的弯曲正应力公式为：
y
1
n
My Iz
y
2
My Iz
1 E1,A1 z
2 E2,A2
1 E2,nA1 z
2 E2,A2
A1
A2
又:
1
E1 y
2
E2 y
有:
E1 ydA1 E2 ydA2 0
A1
A2
E1
y2dA1
A1
E2
y 2 dA2
A2
M
确定中性轴的位置
1 M
E1I1 E2I2
三、复合梁的强度
则截面1和截面2上的弯曲正应力分别为:
1
ME1 y E1I1 E2I2
2
ME2 y E1I1 E2I2
材料力学
弯曲应力
弯曲应力
一 基本概念与假设
弯曲应力 /一 基本概念与假设
1 纯弯曲与横力弯曲
纯弯曲：
A
横截面上弯矩为常量，而切力为零。
FF
a C Da B F
横力弯曲： 横截面上既有弯矩，又有切力。
F Fa
一 基本概念与假设 2 平面假设与单向受拉、压假设
平面假设
梁弯曲变形后，其横
F
F
截面仍保持为一平面，并
作等效截面，将截面2宽度乘以2.5
求等效截面的形心，对z’轴求静矩， 得到：
yc
10 5 2.5 10 5
2.510 5 7.5 2.510 5
mm
6.07mm
三、复合梁的强度 等效截面对中性轴的惯性矩：
Iz
10 53 12
10 5 6.07
2.52
2.5 10 53 2.5 10 5 10 6.07 2.52 mm4 1257.4mm4
y
当复合梁各部分连接紧密，在弯曲变形
过程中无相对错动时，复合梁为一
1 E1,A1 整体梁。 z
平截面假设和单向应力假设仍然成立!
2 E2,A2
在梁发生弯曲变形时, 梁横截面上各点绕中性轴 (a) 发生一个微小转动。
三、复合梁的强度
对于由单一材料组成的梁, 梁弯曲时的中性轴过横截面的形心。
对于复合梁，由于材料性质不均匀,弯曲时候的中性轴不再通 过横截面的形心。