* FS S z bI z
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（儒拉夫斯基公式）
式中符号意义：
：截面上距中性轴y处的剪应力
S ：y以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
对于矩形：
* z
yc
h
c
y z b
92
h * * Sz A yc b 2 y y 27
92
36
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
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例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
q=0.5KN/m
d 0.8 ，试选择截面直径D；若外径D增加 D
A L=4m
1 2 qL 8
并且
h y , 0; 2
y 0, max
3 FS 2 bh
3 FS 2 A
92
28
弯曲应力/弯曲时的剪应力 实心截面梁的弯曲切应力误差分析
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精确解 =
= bI z
1/1
1.12
FS Sz* b 1/2 1.57 1/4 2.30
h
翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽 度按直线规律变化，并与腹板部分 的竖向剪力形成“剪应力流” 。 翼缘部分的剪应力强度计算时一 般不予考虑。
( y)
腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角 上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使 这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的
结果。
My1 1 , Iz
( M dM ) y1 2 Iz
M Iz

A1
M dM y1dA bdx Iz
dM bdx Iz

A1
y1dA 0

A1
y1dA
* dM S z* F S S z dx bI z bI z
S
* z
92
26
FS
弯曲应力/弯曲时的剪应力
a b ( y)d
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
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所以纵向纤维ab的应变为:
ab ( y )d d yd y dx d ab
(a)
——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。
曲率
1

(), 则 ();
曲率
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第六章 弯曲应力
92
1
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1. 引言
2. 弯曲正应力
3. 弯曲切应力
4. 梁的强度条件 5. 梁的合理强度设计 6. 双对称截面梁的非对称弯曲
92
2
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一、引言
92
3
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 横力 F 弯曲 a F (+)
FQ 图
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d z
Iz

64
d 4,
Wz

32
d 3,
D
d z
Iz

64
(D d )
4 4

64
D 4 (1 4 )
Wz
92
18

32
d ( ) D
D3 (1 4 )
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
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由纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁： (a) 横力弯曲的细长梁，即梁的跨高比:L/h>5时， 其误差不大； (b) 对R/h>5的曲率梁，可使用直梁公式。 非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：
h y 2 2
2 b h 2 y 2 4
弯曲应力/弯曲时的剪应力 而
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1 3 I z bh 12
6 FS h 2 2 ( y ) 3 bh 4
因此矩形截面梁横截面上的 剪应力的大小沿着梁的高度按 抛物线规律分布。
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假 设

在有剪应力存在的情形下， 弯曲正应力公式依然存在
剪应力方向与剪力的方向相同，并 沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于

狭长的矩形截面适用）
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应
力，而无须应用“平衡，变形协调和物性关系”。
92
23
弯曲应力/弯曲时的剪应力
20:01:46
（一）矩形截面
M EI z
1
为常数，挠取轴 是一条圆弧线
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为
My Iz 横截面上最大正应力为
max
92
16
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
3、实验观察:
M M
横截面上 只有正应 力无剪应 力
92
7
M
凹边缩短
长度保持 不变的纵 向纤维
纵向纤维间无挤压作用 凸边伸长
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。
中性轴——中性层与横截面的交线。
中性轴
中性轴
中性层
4、平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放： z h b b
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
平放：
I z 1 hb 3 , 12
h
92
17
z´
1 2 Wz hb 6
若h>b, 则 Wz Wz 。
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
h/b

1.0
2/1
1.04

92
29
弯曲应力/弯曲时的剪应力
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（二）工字形截面梁的弯曲切应力 1、腹板
* FS S z ( y) Iz

翼缘
式中
z

( y)
腹板
(y)：截面上距中性轴y处的剪应力
* Sz ：y处横线一侧的部分面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
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正应力分析方法
1. 2. 3.
4. 5. 6.
92
6
外力分析（确定约束反力） 内力分析（绘剪力图、弯矩图） 平面假定与变形协调方程
应变分布与应力分布 应用静力学方程确定待定常数 正应力表达式
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
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1、研究对象：等直细长对称截面梁 2、前提: (a)小变形——在弹性变形范围内， (b)满足平面弯曲条件， （c）纯弯曲。
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考虑平衡条件

M dA dA
z x
M
z
M
M z A (dA) y

E 2 A y dA M
Iz
y A E dA
2
y
E Iz M
(e)
I z 为截面对中性轴的惯性矩。
92
15
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
可得挠曲轴的曲率方程：
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
1

C.
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。 当 y 0时,
0；
应力为零的点的连线。 M
y ymax时, max .
与实验结果相符。
92
11
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位臵及应力计算公式
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1、弯曲正应力强度条件：
M max max [ ] Wz
可解决三方面问题：
（1）强度校核，即已知 M max , [ ],Wz , 检验梁是否安全；
M max （2）设计截面，即已知 M max , [ ],可由 Wz 确定 [ ]
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 WZ , [ ], 可由 M max Wz [ ] 确定。
92
20
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
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（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来
确定。
（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。
92
21
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三、弯曲时的剪应力
92
22
弯曲应力/弯曲时的剪应力
：y处的宽度
92
30
弯曲应力/弯曲时的剪应力
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max
FS S z ,max
Iz
FS ( I z / S z ,max )
腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力 占总剪力的95~97%。
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31
弯曲应力/弯曲时的剪应力
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2、翼缘
( z)
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8
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
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5、理论分析
（1）变形分布规律
m
o1
o
n
o2
dx

a´ b´