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乘法公式应用与拓展-几何背景下的乘法公式
(a
1 )2 a
25
a2
2 a
1 a
1 a2
25
a2 2
1 a2
25
a2
1 a2
25
知识
易错点
悟
思想方法
)试试身手,活学活用:
199912 998 199912 919979912 9929
整体换元简化计算,关键看出 整体的共同点。
a b a b ) 如果、满足等式 22 2 6 1 0 ,0
你的发现是:
b2
a2
a2 b2 (ab)2 2ab ;
从右图观察, a2 b2 、与 (a b)2 有什么关系吗?
你发现是:
a2 b2 (ab)2 2ab .
综述以上结论:
我们知道 (a b )2 ,、 a ( b )2 、 a 2 b 2 、 ab 之间有 如下关系:
a2 b2 (ab)2 2ab a2 b2 (ab)2 2ab
( ab)24a b(ab)2
ab(ab)2(ab)2 4
(ab)2(ab)24ab
四·【练】
解答下列各题:
()·已知 : ab8, ab7 ,求下列式子的值:
① a2 b2; ② a3bab3; ③ a4 b4.
活动二:直接利用乘法公式(快速写出下列各乘法 算式的计算结果)
(3xy)3( xy) 9x2 y2
弄应
清用
m 5 n 5 n m m2 2n52
公乘 式法
(1 2
m
1 n)2
2
1m2
4
12mn41n2
特公 点式 ,时
(1a3b)2(1a3b)2
2
2
116a4
MN .
MN
. MN .不能确定
( 12 1 2)1( 3 1 2) ( 11192) 91( 92102) 00 MN
) 已知: , =,
=,则多项式
值为( ).
.
..
a2 的b2 c2 abacbc
.
离开图形,你还能计算下列式子吗?
请计算: (3a b 2c)2
离开图形,你还能计算下列式子吗?
(3 1x4 1yz)3 1 (x4 1yz)
个人收集整理,仅供交流学习!
9 2a2b2
8b14
灵, 活关 套键 用在
!于
议·如果我们把大正方形的边长变成, 小正方形的边长变成,你又能得到一个 什么样的乘法算式,它还可以用平方差公 式进行计算吗?
可以得到乘法算式:
xyzxyz xy z ( 3 2 ) 3 ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 2 ) 2
活动二:
图是由边长为和边长为的正方 形,构成的边长为的正方形, 大正方形的面积有几种计算方法呢? 你发现它能验证那个乘法公式呢?
b2 a2
图
大正方形的面积计算方法: (a b)2 ; 大正方形的面积计算方法: a22abb2; 验证的公式: ( ab)2a22a bb2 .
如图:最大正方形是边长 为,将其边长缩短,得 到阴影如图所示的阴影部 分,你能写出两种表示阴 影部分面积的方法吗?
是( ) xz2y0 xy2x0
. xyz0 .
y)() 可得等式:()()
面积为( :3a)2 (2b)2
(3a)2 (2b)2
)若 M a 2 a 1 a 2 a 1 , Na12a ,12
其中 a 0 ,则、的大小关系是 ( )
右图是由个长为,宽为的 长方形和一个边长为的正 方形共同组成的边长为正 方形,请用字母表示中间小正 方形的面积:
中间部分面积计算方法:
(a b)2
;
中间部分面积计算方方法 (ab)2 4ab ; 你有什么发现: ( ab)2-4a b(ab)2 .
从右图观察,你发现 a2 b2 、与 (a b)2 有什么关系吗?
议·如果把以上大正方形边长变为 1 x,小正方形边长
3
1
变为 4
y
,你能得到乘法什么算式?结果得多少呢?
乘法算式:( 3 1x4 1y)3 1 ( x4 1y) ( 3 1x) 2 ( 4 1y) 2
你能从几何意义上解释下列算式吗? 你能计算吗? 动手做一做
( ab)2 (ab)2
)
) 5 a 7 b 8 c2 5 a 7 b 8 c2
活动二:
a2 b2 面积为:(a+b)(a-b)
可得算式: a2 b2 ()()
可发现,平方差公式逆用也成立!
在利用规律求值时,关键要弄 清楚完全平方公式的基本特点,记住平
方在两边,乘积两倍在中间,满足特 点直接用,不满足时要等值补全。
观察下列排列规律,填一填:
列你 的发 规现 律它 了们 吗排 ?
根据以上规律,可以快速的对下列式子进行计算:
( a b) 3 、 a b ( ) 4 、 a b5(a b)6
你有兴趣吗?其实这些都是我们学过的乘 法公式也具有的魅力。
议·如上面的方法,我们将图的较大正方形
边长变为,最小正方形的边长变为,则
----几何背景下的乘法公式
··
学习目标:
.从图形面积入手,熟悉每个乘法公式的结构 特征,理解公式几何背景,培养学生的几何直观 和数形结合的思想方法; ·利用图形的直观性和乘法公式结构特征,寻找 完全平方式的派生关系,并解决相关问题;
活动一:
一·【导】
()·()
a2 b2
乘法公式:()()
a2 b2
同样成立,我们把这种变化叫公式逆用。
思考:
x2 y2 (
)(
)
x2 6x9(
2 )
活动五:逆用乘法公式(直接套用公式,化简下列 各式)
( ab)2 (ab)2
5 a 7 b 8 c 2 5 a 7 b 8 c 2
(3ab)22(3ab)( 2ab)(2ab)2
6 13
78
()已知
a
1 a
5,求下列代数式
的值;
①a
方法:
解: ∵2
(
2
1
a2
1
1)222
a
1
( 1 )2 2
把 a 1 5 代入上式得:
原式 5 2 - 2 23
② a4
方法 2:
1
a4
解:将
a
1 a
5 两边同时平方得:
① 解 ∵ 2 : b2 ( b) 2 2 b
把 b5 , a b6代入上式得:
∴原式
52-2 6 25 - 12 13
② 解: ∵ a 3b ab 3
b(2 b2)
b( b)2 2ab
把a b 5,ab 6代入上式得: 原 式 6( 5 226 )
利用最大正方形的面积可以得到什么算式,可
以利用完全平方公式进行计算吗?
算式:
;
议·学
我们知道, ( ab)a( b)a2和 公b式2
( ab) 2a22 a b的b逆2向恒等,也就是
abababaab bab 说
,
2 2 ( ) ( ) 、 2 2 2 ( ) 2
阴影部分的面积计算方法: (a b)2
;
阴影部分的面积计算方法: a2-2abb2 ;
验证乘法公式: ( ab)2a22a bb2 ;
二·学
猜想下列图形可以验证什么关系?
活动三
猜想下列图形可以验证什么关系?
b2
a2
活动四图
猜想下列图形可以验证什么关系?
活动四图
活动三:
三·【议】
议·学 活动三:对于乘法公式有 ( ab)a( b)a2b2; ( ab) 2a22 a bb2,那么式子 (a b c)2
怎么计算呢?能利用以上乘法公式吗?式子 ()()呢?
)我们知道等于,若实数、、满足式
子 (xz)24 (xy)(yz)0则,下列式子一定成立的
则的值是到少?
)为任意有理数,请问当的值为多少时,代
数式 a2 4a7的值最小,能求出最小吗?
逆用公式时,记住公式的特点, 同时要弄清完全平方公式中的 各个项的特点和之间的关系。幻灯片
我们学过那几个乘法公式,你能用字母表示它们吗?
平方差公式 ( ab)a (b)a2b2
完全平方公式 ( a b ) 2 a 2 2 a b b 2