x
r
2
xn
0
0
1
0
0
1
这是方程组的通解.
v求基础解系的方法 ——也可以由基础解系求通解
方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
xr br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn
v非齐次线性方程组解的结构
定理6.2 若*是方程组Axb的某个解 1 2 nr是方程组Ax0的基础解系
则方程组Axb的通解为
xk11k22 knr nr* (k1 knr R).
Ax b的通解= Ax b的特解+ Ax 0的通解.
例6. 3 求解方程组
法一: 令x2 c1 x4 c2
v齐次线性方程组解的性质
v性质6.1
若x1 x2为Ax0的解 则x12也是Ax0的解.
v性质6.2
若x1为Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解.
思考 假如Ax0有无穷多解，如何把这些解表示出来？ 设S是Ax0的解的集合
S0 1 2 t是S的一个极大无关组
那么 一方面 Ax0的任一解都可由S0线性表示 另一方面 S0的任何线性组合
c1
1 1 0 0
c2
1 0 2 1
1 2
102,(c1,c2
0
R).
于是对应齐次方程组的基础解
系为
1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T.
非齐次方程的一个解(特解)为
xx13
x2 x4 1/ 2x4 1/ 2
2
.
*(1/2 0 1/2 0)T.
例6. 3 求解方程组
法二:令x2x40 得非齐次方
xx11
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
程组的一个解(特解)
.
*(1/2 0 1/2 0)T.
x1 x2 2x3 3x4 1/ 2 对应齐次方程组的通解为
其中xr1 xn为自由未知数. 令xr1c1 xr2c2 xncnr可得
x1 x2
b11 b21
b12 b22
b1,n r
b2,nr
xr xr1
c1
br1
1
c2
br 2 0
cnr
br ,n r 0
,
(c1
cnr∈R).
v性质6.5
设x1及x2都是Axb的解 若xk11+k22为Axb的解，
则k1,k2需要满足什么条件？ k1k2=1.
因为
A(k11 k2 2) A(k11) A (k22) k1(A1) k2 (A2) (k1k2 ) b
v非齐次线性方程组解的性质
v性质6.3
设x1及x2都是Axb的解 则x12为Ax0的解.
v定理6. 1(存在性) 设mn矩阵A的秩r(A)r < n 则n元齐次线性方程组
Ax0的基础解系一定存在,而且每个基础解系中所含的解向 量的个数均为nr. >>>
v求基础解系的方法
定理6.1证明 设mn矩阵 A 的秩r(A)r < n ，
把n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A用初等行变换
化为行最简形，不妨设
其中x3 x4为自由未知数.
法一: 令x3 =c1, x4 c2 得 方程组的通解为
x1
=
2 7
c1
+
3 7
c2
x2
=
5 7
c1
+
4 7
c2
x3 =c1
x4 =c2
2 3
x1 x2 x3 x4
c1
7 5 7 1
0
c2
7 4 7 0
1
故方程组的基础解系为1 2.
方程组的通解可表示为
xc11c22 (c1 c2R).
例6. 2 设AmnBnlO 证明r(A)r(B)n .
证 记B(b1 b2 bl) 则
A(b1 b2 bl)( 0 0 0)
即
Abi0(i1 2 l).
表明矩阵B的l个列向量都是齐次线性方程组Ax0的解,
因此矩阵B的l个列向量都能由Ax0的基础解系线性表示.
x4 0 3x3 2x4
0
7x17x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等 行变换变为行最简形
A 721
1 5 7
1 3 3
211
~rr
1 0 0
0 1 0
2/7 5/7
0
3/ 4/
770
xx12
(2/ 7)x3 (3/ 7)x4 (5/ 7)x3 (4/ 7)x4
例6.1 求齐次线性方程组 于是方程组等价于
2x1x1x52 x2x3
x4 0 3x3 2x4
0
7x17x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
xx12
(2/ 7)x3 (3/ 7)x4 (5/ 7)x3 (4/ 7)x4
其中x3 x4为自由未知数.
法一: 令x3 =c1, x4 c2 得 方程组的通解为
c1
xr
2
c2
x n c n r
(c1 cnr∈R). 这是方程组的通解.
v求基础解系的方法 ——可以由通解求基础解系
方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
xr br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn
v性质6.4
设x是Axb的解 x是Ax0的解则x是Axb的解.
v性质6.5
设x1及x2都是Axb的解 若k1k2=1,则xk11+k22
为Axb的解.
v非齐次线性方程组解的性质
v性质6.3
设x1及x2都是Axb的解 则x12为Ax0的解.
v性质6.4
设x是Axb的解 x是Ax0的解则x是Axb的解.
§3.6 线性方程组解的结构L/O/G/O
当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是 系数矩阵的秩 r(A) n . n元非齐次线性方程组Axb有无穷多解的充要条件是 r(A) r(A b) n .
§3.6 线性方程组解的结构L/O/G/O
一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构
xx11
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
.
x1 x2 2x3 3x4 1/ 2
解 因为增广矩阵
BBBr111100111
11 01 0 2
1003310121/11020122
可见r(A)r(B)2 所以方程组 有无穷多解 其等价于
得非齐次方程组的通解为
x1 x2 x3 x4
设1 2 t为Ax0的基础解系 则Ax0的通解为 xc11c22 ctt (c1 c2 ctR).
v齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的解集的极大无关组，称为该齐次线性 方程组的基础解系.
v齐次线性方程组解的结构 设1 2 t为Ax0的基础解系 则Ax0的通解为 xc11c22 ctt (c1 c2 ctR).
故方程组的基础解系为1 2.
例6.1 求齐次线性方程组 于是方程组等价于
2x1x1x52 x2x3
x4 0 3x3 2x4
0
7x17x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等 行变换变为行最简形
A 721
1 5 7
1 3 3
211
~rr
1 0 0
0 1 0
2/7 5/7
法二: 令
x3 x4
1 0
,
0 1
得
2
3
2 3
x1 x2 x3 x4
c1
7 5 7 1
0
c2
7 4 7 0
1
c11 c22
(c1 c2R)
故方程组的基础解系为1 2.
7
7
1
5 7
,
2
4 7
.
1 0
0 1
1
0
0 1
0 0
b11 b21
b12 b22
b1,n r b2,n r
r A~0
0
1
br 1
br 2
br ,n r
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
则方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
其 xx中xrrn12xr=1100，x100n为，自由100 未，知数xxxx12rr.1
这nr个nr维的列向量 这就只是要方线程性组无的关基就础可解以系.
x x
r n
2
b11 b21
br1
1
0
0
b12 b22
，
br 0
2
1
0
xk11k22 ktt
都是Ax0的解 因此上式便是Ax0的通解.
v齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的解集的极大无关组，称为该齐次线性
方程组的基础解系.
即 设1 2 t为Ax0的有限个解 若满足 (1)1 2 t 线性无关; (2) Ax0的任何一个解均可以由1 2 t 线性表示, 则1 2 t 为Ax0的一个基础解系. v齐次线性方程组解的结构
其中xr1 xn为自由未知 x数r . br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn