旗开得胜
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专题2.2 基本不等式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足2
2
1x y +=，则xy 的最大值是（ ）
A ．1
B 3
C ．
22
D ．
12
【答案】D
【解析】因为22
2x y xy +≥，所以22
2=1y x x y +≤，得12
xy ≤
. 故选：D.
2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3【答案】C
【解析】因为90,30a
b
>>，22a b +=，
所以2293293233236a b a b a b a b ++≥⋅=⋅==，
旗开得胜
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当且仅当233a b =，即1
,12
a b =
=时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C
3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．2a b ab +≤【答案】B
【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；
B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()2
0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B
4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241
x x y x -+=-的最小值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】依题意24
1
x x y x -+=
-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以
1
()4
4
111151
1
x x x x -+
+≥-⋅
=--，当且仅当41,31x x x -=
=-时，等号成立. 故选B.
5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++
⎪⎝⎭
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】(
)11a ax y x y a x y y x
⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭. 若0xy <，则
0y
x
<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；
若0xy >，则
0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
≥不恒成立； ③当0a >时，())
2
1121211a ax y ax y x y a a a a a x y y x
y x ⎛⎫++=+++≥⋅+=+=
⎪⎝⎭，
当且仅当=
y ax 时，等号成立.
所以，
)
2
19a ≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
1
故选：C.
6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，
11
111
a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）
A ．32
B ．22
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】∵0a >，0b >，
11111
a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)](
)3[12]31111
b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++3+223=22≥2(1)111b a a b ++=++，即2a =2
b =.故选B 7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ） A ．a v ab <<
B ．v ab =
C 2
a b
ab v +<<
D ．2ab
v a b
=
+ 【答案】AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b
+，
22s ab
v s s a b a b
∴==
++. 0b a >>2
a b
ab +<
，
22ab v ab a b ab ∴=<=+ 另一方面2
2222
a b ab a b v a b a b +⎛⎫
⋅ ⎪+⎝⎭=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b
---=-=>=+++，。