如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。

找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。

下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。

类型一：1()n n a a f n +-= 或 1
()
n n a g n a +=
分析：利用迭加或迭乘方法。

即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+……
或
12
1
121n n n n n a a a a a a a a ---=
……
例1.(1) 已知数列
{}n a 满足11211
,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。

（2）已知数列
{}n a 满足
1(1)1,2n
n n a a s +==
，求数列
{}n a 的通项公式。

解：（1）由题知：
121111
(1)1n n a a n n n n n n +-=
==-
+++
112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++……
1111111(
)()()121122
n n n n =-+-++-+---……
312n =
-
（2）
2(1)n n s n a =+
112(2)n n s na n --∴=≥
两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥
即：1(2)1n n a n
n a n -=≥-
12
1
121n n n n n a a a a a a a a ---∴=
⋅⋅ (121)
12
1n n n n -=⋅⋅--……
n =
类型二：1(,(1)0)n n a pa q p q pq p +=+-≠其中为常数，
分析：把原递推公式转为：1(),1n n q
a t p a t p +-=--其中t=
，再利用换元法转化为等比数列
求解。

例2.已知数列
{}n a 中，11,123n n a a a =+=+，求{}n a 的通项公式。

解：由123n n a a +=+ 可转化为： 132(3)n n a a ++=+
令3,n n b a =+11n+1n 则b =a +3=4且b =2b
{}n b ∴1是以b =4为首项，公比为q=2的等比数列
1
1422n n bn -+∴=⋅= 即 1
2
3n n a +=-
类型三：1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)
分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()f x 是多项式或指数幂的形式。

（1）()f x 是多项式时转为1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，再利用换元法转为等比数列
（2）()f x 是指数幂：
1
1(0)n n n a pa rq pqr ++=+≠ 若p q =时则转化为11
n n
n n a a r q q ++=+，再利用换元法转化为等差数列
若p q ≠时则转化为11(),n n n n qr
a tq p a tq t p q +++=+=
-其中
例3.（1）设数列
{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。

（2）设数列{}n a 中，111,32n n n a a a +==+，求
{}n a 的通项公式。

解：（1）设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++ 1322n n a a An B A +∴=++-
与原式比较系数得：
221
211A A B A B ==⎧⎧⇒⎨⎨
-==⎩⎩ 即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++
令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3
{}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列
133331n n
n n
n b a n -∴=⋅==--即:
(2)设1
12
3(2)n n n n a t a t +++=+
展开后得：132n
n n a a +=+ 对比得：1t =
1123(2)n n n n a a ++∴+=+
令11,12,323n n n n n b a b b a +=+=+=1则且b =
{}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列
133332n n n n n
n b a -∴=⋅==-即:
类型四：1(0,0)r
n n n a pa p a +=>>
分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：1lg lg lg n n a r a p +=+，再采用类型二进行求解。

例4.设数列
{}n a 中，
2
1111,(0)n n a a a a a +==
⋅>，求
{}n a 的通项公式。

解：由
2
11n n a a a +=
⋅，两边取对数得:
11
lg 2lg lg
n n a a a +=+
设1lg 2(lg )n n a t a t ++=+展开后与上式对比得：
1lg
t a =
112(lg lg )n a a a a ∴=+n+1原式可转化为lg +lg
令
1(lg lg )n n b a a =+，则1,1
n n b b a +=且b1=lg
{}1
n b a ∴1是b =lg 为首项，公比q=2的等比数列
1
12lg
n bn a -∴=⋅，即111
lg lg 2lg n n a a a -+=⋅
也即1
12
n n a a --=
类型五：
1()()()n
n n f n a a g n a h n +=
+
分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。

例5.已知数列
{}n a 满足：
1
111,31n n n a a a a --==
+，求{}n a 的通项公式。

解：原式两边取倒数得：11113113n n
n n a a a a ---+==+
1
,1n a n n n-11设b =
则b -b =3,且b =
{}1
3n b ∴1是b =为首项，公差d=2的等差数列
1(1)332bn n n ∴=+-⋅=-
即
132n a n =
-。