华南理工大学研究生课程考试
《数值分析》试卷 A
2014 年 1 月 9 日 注意事项：1. 2. 3. 4. 5. 6. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在试卷上； 课程代码：S0003004 考试形式：闭卷 考生类别：硕士研究生 本试卷共八大题，满分 100 分，考试时间为 150 分钟。
一、 （12 分）解答下列问题： （1）设近似值 x 0 ， x 的相对误差为 ，试证明 ln x 的绝对误差近似为 。 （2）利用秦九韶算法求多项式
p( x) x5 3x 4 4 x 2 x 1
在 x 3 时的值。 二、 （12 分）解答下列问题： （1）设 f x 3 x 2 5 ，求 f 0,1, 2 和 f 0,1, 2,3 。 （2）利用插值方法推导出恒等式： [
0
1
（4）指出所得公式与一般的 Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
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《数值分析》A 卷
五、 （12 分）解答下列问题：
1 2 （1）设 A ,计算 A 1 、 Cond ( A) 和 ( A) 。 3 4
2 3 x1 1 1 （2）用列主元 Gauss 消去法解方程组： 5 4 10 x2 0 3 0.1 1 x3 2
1 时，此迭代格式收敛。 2
七、 （13 分）解答下列问题： （1）证明：设方程 f(x)=0 在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程 的近似根，要求绝对误差限为 0.001，则至少要二分 9 次． （2）试写出求 a (a 0) 的 Newton 迭代公式，并判定该迭代公式的收敛阶。 八、 （12 分）解答下列问题： (1) 试分别运用 Taylor 展开的方法和以差商离散导数项的方法推导出求解 y’ = f (x , y), y (x0) = y0 的 Euler 公式： y n+1 = y n + h f (x n , y n )，n = 0,1,2… (2) 若用 Euler 公式解初值问题
y 2 y y (0) 3
试推导出该数值方法的绝对稳定条件。
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i 0 3
x j ] i 2 x2 。 i j j 0, j i

3
三、 （12 分）解答下列问题： （1） 设 q k ( x)k 0 是区间 0, 1 上带权 1 而最高次项系数为 1 的正交多项式族， 其中 q 0 ( x) 1 ，求 q1 ( x) 和 q2 ( x) 。 （2）求形如 y a bx 2 的经验公式，使它与下列数据拟合：
六、 （13 分）已知求解线性方程组 Ax=b 的分量形式的迭代格式
xi ( k 1) xi ( k ) （bi aij x (jk ) ) , aii j 1

n
i 1, 2, , n
(ⅰ) 试导出其矩阵形式的迭代格式及迭代矩阵； (ⅱ) 证明：当 A 是严格对角占优阵且
xj fj
19 19.0
1
25 32.3
3197.8
四、 （14 分）对积分 I f x dx ，试
0
1 1 3 （1）构造一个以 x0 , x1 , x2 为节点的插值型求积公式； 4 2 4 （2）指出所构造公式的代数精度；
（3）用所得数值求积公式计算积分 3 x 2 dx 的精确值；