《经济数学基础12》形考作业一讲评一、填空题 1.___________________sin lim 0=-→xx x x . 解：00sin sin lim lim 1110x x x x x x x →→-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 答案：02.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k . 解：200lim ()lim(1)1(0)x x f x x f k →→=+=== 答案：13.曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .解：切线斜率为111|2x k y =='===，所求切线方程为11(1)2y x -=- 答案：2121+=x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .解：令1x t +=，则2()4,()2f t t f t t '=+=答案：x 25.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f . 解：()sin cos ,()2cos sin ,22f x x x x f x x x x f ππ⎛⎫'''''=+=-=-⎪⎝⎭ 答案：2π- 二、单项选择题1. 当x →+∞时，下列变量为无穷小量的是（ ）．A ．ln(1)x +B ．21x x +C ．21x e -D ．sin x x解：sin 1lim lim sin x x x x x x →+∞→+∞=⋅，而1lim 0,|sin |1x x x →+∞=≤，故sin lim 0x x x→+∞= 答案：D2. 下列极限计算正确的是（ ）．A.1lim 0=→x xx B.1lim 0=+→x x x C.11sin lim 0=→xx x D.1sin lim =∞→x x x 解：0lim x x x →不存在，00lim lim 1x x x x x x ++→→==，01lim sin 0x x x →=，sin lim 0x x x→∞= 答案：B3. 设y x =lg2，则d y =（ ）．A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 解：212ln10ln10y x x '==，1ln10dy y dx dx x '== 答案：B4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微解：可导等价于可微，可导必连续，但（B ）为不连续答案：B5.若1f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '=（ ）. A ．21x B ．21x - C ．1x D ．1x - 解：令1t x=，则()211,()f t f t t t '==- 答案：B三、解答题1．计算极限本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。

它包括：⑴利用极限的四则运算法则；⑵利用两个重要极限；⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)⑷利用连续函数的定义。

（1）22132lim 1x x x x →-+- 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算。

解：原式11(1)(2)21lim lim (1)(1)12x x x x x x x x →→---===--++ （约去零因子）（2）22256lim 68x x x x x →-+-+ 分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算。

解：原式22(2)(3)31lim lim (2)(4)42x x x x x x x x →→---===--- （约去零因子） （3）01lim x x→ 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算。

解：原式012x →==- （分子有理化） （4）2235lim 324x x x x x →∞-+++ 分析：这道题考核的知识点主要是齐次有理因式的求极限问题。

具体方法是：分子分母同除以自变量的最高次幂，也可直接利用结论，齐次有理因式的极限就是分子分母最高次幂的系数之比。

解：原式223511lim 2433x x x x x→∞-+==++ （抓大头） （5）0sin 3lim sin 5x x x→ 分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。

具体方法是：对分子分母同时除以x ，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算。

解：原式033lim 55x x x →== （等价无穷小） （6）224lim sin(2)x x x →-- 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。

具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算。

解：原式22lim (2)4sin(2)x x x x →-=+=- （重要极限）2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x x x a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。

即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。

二是函数在某点连续的概念。

解：（1）00sin 1(0)lim 1,(0)lim sin ,(0)(0)x x x f f x b b f f x x +-→→⎛⎫+==-=+=+=- ⎪⎝⎭，即当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在；（2）(0)(0)(0),f f f +=-=即当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续．3．计算下列函数的导数或微分：本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种：⑴利用导数(或微分)的基本公式；⑵利用导数(或微分)的四则运算法则；⑶利用复合函数微分法。

（1）2222log 2-++=x x y x ，求y '分析：直接利用导数的基本公式计算即可。

解：2ln 12ln 22x x y x ++=' （注意22为常数） （2）dcx b ax y ++=，求y ' 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

解：222()()()()()()()()()ax b cx d ax b cx d a cx d ax b c ad cb y cx d cx d cx d ''++-+++-+-'====+++ （3）531-=x y ，求y ' 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

解：13221(35)(35)32y x x --'⎡⎤'=-=--⋅=⎢⎥⎣⎦（4）x x x y e -=，求y '分析：利用导数的基本公式计算即可。

解：()(1)e x x x y e xe x '=-+=-+ （5）bx y ax sin e =，求y d分析：利用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。

解：(e )sin (sin )sin cos ax ax ax axy bx e bx e a bx e bx b '''=+=+⋅ e (sin cos )ax dy y dx a bx b bx dx '==+（6）x x y x+=1e ，求y d分析：利用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。

解：121e x y x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭， yd 121e )d x x x = （7）2e cos x x y --=，求y d分析：利用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。

解：2e (2)x y x -'=---，y d x x x x x d )2sin e 2(2-=- （8）nx x y n sin sin +=，求y '分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算。

解：11(sin )cos (cos )(sin cos cos )n n y n x x nx n n x x nx --'=+⋅=+（9）)1ln(2x x y ++=，求y '分析：利用复合函数的求导法则计算。

解：1y ⎛⎫'=+=（10）1sin 2x y =，求y ' 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算。

解：111sin 622x y x x -=++1513sin sin 62221111ln 212(ln 2)cos 2cos 26x x y x x x x x x --⎛⎫⎛⎫'=--+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 4.下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d本题考核的知识点是隐函数求导法则。

（1）1322=+-+x xy y x ，求y d解：方程两边对x 求导，得 22()30x y y y xy ''+⋅-++=， 322y x y y x --'=-，x xy x y y d 223d ---= （2）x e y x xy 4)sin(=++，求y '解：方程两边对x 求导，得 cos()(1)()4xy x y y e y xy ''++++=，)cos(e )cos(e 4y x x y x y y xy xy +++--=' 5．求下列函数的二阶导数：本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数。

（1）)1ln(2x y +=，求y '' 解：2222222,1(1)x x y y x x -'''==++ （2）xxy -=1，求y ''及)1(y '' 解：1122y xx -=-，312211,22y x x --'=--23254143--+=''x x y ，1)1(=''y。