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数学与计算机学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字）
课程考核
参考答案及评分标准
考试课程：高等数学B(二) 学年学期：2011-2012-2 试卷类型：A 考试时间：120分钟 适用专业：经济与工商管理学院11级财务管理 层次：本科
一、选择题（每小题3分共15分）
1 (B)；
2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).
二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分） 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√). 三、填空题（每小题3分共18分）
1. dx )x 31(2
⎰
-= x-x 3
+c . 2.
dx x x ⎰
--1
1
2
3)3(= -2 .
3. 0
x lim
→x
tdt cos x
2
⎰
= 1 .
4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)=
2
)
x 1(1-.
5. 级数∑
∞
=-1
n n
)
n 2)(1n 2(x
的收敛半径 = 1 .
6. 设2
2
y x z =, 则
y
z ∂∂= y
x 22
.
四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题） 1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7
538642x x x x 的和函数. 解： ∵ (x)
...x x 1n
242+++++=
2
x
11-
∴ S(x)= ...)'x
...x x 1(n
24
2
+++++='x 112
⎪⎭
⎫
⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨
⎧>≤+=1
x x
21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f
第 2 页 解：∵
12
c x x
2
1dx )1x (++=
+⎰,x ≤1;
22
c x xdx 2+=⎰
, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 2
1dx )x (f 22
, 其中c 为某常数.
3. 求幂级数
1
n 1
n n
x 2
n 1-∞
=∑
的收敛半径，并求和函数
解：收敛半径R=n
)
1n (n 2
n 2
)1n (lim
+∞
→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时
(xS(x))'=1
n 1n n
x 2
1-∞
=∑
=
1
n 1n )2
x (21
-∞
=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2
/x 11
21
x
⎰
-= -)2
x 1ln(-
, 故 S(x)=)2
x 1ln(x
1-
-
. 总之
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-∈≠--=0x 2
1)2,2[x 0x )2
x 1ln(x 1
)x (S 且 4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。

解：x cos )x (f 2
==(1+cos2x)/2=
∑
∞
=-+
n n
2n )!
n 2(2)x 2()1(2
1
故 f(x)= ()∑∞
=+
1
n n
2n
)!
n 2(2x 21-1）
（, +∞<<∞-x .
5. 某商品的需求量Q 对价格P 的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求Q 对P 的函数关系。

(注：需求量Q 对价格P 的偏弹性定义为E p =Q
P P Q P P /Q
Q lim
P ∂∂=∆∆→∆, P331)
解：依题得
Q
P dP dQ =-Pln3, 故
dP
Q ln d =-ln3,
lnQ=lnc3-P
, Q=c3-P
. 由于 1200=c, 故 Q=1200∙3-p
.
6. 设某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000（即P=0时，Q=1000），已知需求量的变化率（边际需求）为P
31
(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=，求
需求量Q 与价格P 的函数关系。

解：∵P
)31
(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=
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第 3 页 共 3 页
∴P )3
1(1000Q =+c. Q(0)=1000=0)3
1(1000+c, c=0,故 P )3
1
(1000Q =.
7. 求曲线82-=x y 与直线2x+y+8=0, y=-4所围成的图形的面积. 解：面积
S=48
(y /24))dy ----⎰ =
= 16/3-12+16=28/3.
五、证明题（每小题8分共16分） 1. 如果
x
x sin 是f(x) 的一个原函数，试证明：c x
x
sin 2x cos dx )x ('xf +-
=⎰ 证明： 因为x
x sin 是f(x)的一个原函数，所以 f(x)=)'x
x sin (
=
2
x
x
sin x cos x - ,
利用分部积分法, dx )x ('xf ⎰=xf(x)-
dx )x (f ⎰=
x
x
sin x cos x --
x
x sin +c =c x
x sin 2x cos +-
.
即
c x
x sin 2x cos dx )x ('xf +-
=⎰.
2. 设)y x ln(z n
n +
=且2≥n , 试证明n
1y
z y
x
z x
=
∂∂+∂∂.
证明：∵
x
z ∂∂=
n
n
1
n
1
y x x
n
1+-,
y
z ∂∂=
n
n
1
n
1y
x y
n
1+-,
∴ x
x
z ∂∂=
n
n
n
y
x x
n
1+, y y
z ∂∂=
n
n
n
y
x y
n
1+
, ∴ n
1y
z
y
x
z x =
∂∂+∂∂.。