解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令 f′(x)＝1x－a＝0，得 x＝1a， 当 0<x<1a时，f′(x)>0； 当 x>1a时，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f1a＝－ln a－1＝－1，解得 a＝1.
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题型三 函数极值和最值的综合问题
题型三 函数极值和最值的综合问题
又当 a＝－14时，f′(x)＝12x12＋－x12x＝12x1x＋－x1，
当0<x<1时，f′(x)<0；
当x>1时，f′(x)>0， 所以f(1)是函数f(x)的极小值所，以 a＝－14.
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题型二 用导数求函数的最值
题型二 用导数求函数的最值
例 4 已知 a∈R，函数 f(x)＝ax＋ln x－1.
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命题点3 已知极值求参数
例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b
＝－_7___.
解析 由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
则ab2－＋63aa＋－3b＝－01，＝0， 解得ab＝＝13， 或ab＝＝29，，
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值， 而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
失误与防范
1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观 且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认 真比较才能下结论. 3.函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较 才能确定最值.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§3.2 导数的应用
课时2 导数与函数的极值、最值
内容
索引
题型一 用导数解决函数极值问题
题型二 用导数求函数的最值
题型三 函数极值和最值的综合问题
答题模板系列
思想方法 感悟提高
练出高分
题型一 用导数解决函数极值问题
题型一 用导数解决函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－ x)f′(x)的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 f(x)的 极 大 值 、f极(－小2值)、分f(别2)是
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答题模板系列
答题模板系列 3.利用导数求函数的最值问题
典例 (14分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0， f′(x)<0的解区间，并注意定义域. (2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性， 再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a， 要对参数a进行分类讨论.
1.当函数y＝x·2x取极小值时，x－＝ln_1_2____. 解析 令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，
∴x＝－ln12.
经验证，－ln12为函数 y＝x·2x 的极小值点.
解析答案
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2.函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值－为1____. 解析 函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞).
ax2＋bx＋c 例 5 已知函数 f(x)＝ ex (a>0)的导函数 y＝f′(x)的两个零点为 －3 和 0.
(1)求f(x)的单调区间；
解析答案
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.
思维升华
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跟踪训练3
已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]， 则f(m)＋f′(n)的最小值是_____.
思维点拨
解析答案
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
温馨提醒
答题模板
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，
那么它必有最大值和最小值. 2.求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小 值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可. 3.当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值. 4.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论 参数的大小.
解析答案
(2)若函数 f(x)＝x33－a2x2＋x＋1 在区间(12，3)上有极值点，则实数 a 的取值 范围是____________.
思维升华
解析答案
(1)函数 y＝2x－x12的极大值是－__3__. 解析 y′＝2＋x23，令 y′＝0，得 x＝－1.
当x<－1时，y′>0；当x>－1时，y′<0.
___________.
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0； 当－2<x<1时，f′(x)<0； 当1<x<2时，f′(x)<0； 当x>2时，f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
解析答案
命题点2 求函数的极值
例 2 已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1－3a(a∈R 且 a≠0)，求函数 f(x)的极 大值与极小值.
∴当x＝－1时，y取极大值－3.
跟踪训练1
解析答案
(2)设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的－值14 为
____.
解且析f′(x由)＝题1意＋1 知x－，2fa(xx－)的1＝定－义2域ax为21－＋(－2xa1＋，1＋x，∞)， 由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得 a＝－14，
又 y′＝1x－1＝1－x x，令 y′＝0 得 x＝1，
当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增； 当x∈(1，e]时，y′<0，函数单调递减. 当x＝1时，函数取得最大值－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线
方程；
解析答案
(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
已知 y＝f(x)是奇函数，当 x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax (a>12)，当 x∈(－2,0) 时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于__1_.