A
A 1
D
C
B B 1
C 1
图
高二（2）部数学《空间向量与立体几何》单元测试卷一
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
一、选择题：（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝
2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．105°
D ．75°
2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4
1
1B A ，则BE 1
与DF 1所成角的余弦值是 （ ）
A ．
1715 B ．2
1 C ．
17
8
D ．23
3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别
是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ）
A ．
10
30 B ．
21 C ．1530 D ．10
15 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD
和SC 之间的距离 （ ）
A ．
5
15 B ．
5
5 C ．
5
5
2 D ．
10
5
5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 （ ） A ．
a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2
2 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ）
A ．
6
3 B ．
3
3 C ．
3
3
2 D ．
2
3 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝
2
1
PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值
（ ）
A ．
6
21
B ．
3
3
8 C ．
60210
D ．
30
210
图
图
8．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，
90=∠ACB ，侧棱21=AA ，
D ，
E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值
（ ）
A ．
3
2
B ．
37
C ．
2
3 D ．
7
3 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32
3
1=
AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小
（ ）
A ．
3
π
B ．
6π
C ．65π
D ．
3
2π
10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，
CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V
（ ）
A ．
6
6
B ．
3316 C ．3
16
D ．16
11.设空间两个不同的单位向量a =(m ，n ，0)，b =（p ，q ，0）与向量（1，1，1）的夹角都
为450
,则
m n
p q
++的值为 A B C ．－1 D ．1 （ ）
12、已知A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C 为线段AB 上一点，且
1
3
AC
AB =，
则点C 的坐标为( ) A ．715(,,)222- B. 8(,3,2)3- C 107(,1,)33- D 573(,,)222
-
二、填空题：（每小题4分，共16分）．
13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．
14． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到
截面1AEC F 的距离 ． 15．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面
D B EF 的距离 ．
16．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所
成角的正弦值 ． 三、解答题：（共74分）．
17．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小
18．已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．
19．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
20．已知棱长为1的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．
（1）求证：E、F、D、B共面；
（2）求点A1到平面的B DEF的距离；
（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．
21．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D 所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．
22．如图5：正方体AB CD-A1B1C1D1，过线段B D1上一点P（P 平面A C B1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面A C B1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．。