x 2 t 2.直线 (t 为参数)被双曲线 x2y2=1 截得的弦长为( y 3 t
(3, 4)
)B
(A)
10
(B)
2 10
(C)
10 2
(D)
3 5
10 3
3.过点 P（5，3） ，且倾斜角满足 cos=
的直线与
圆 x2+y2=25 交于 P1, P2 两点,则| PP1| | PP2| =_______________ ,
参数方程
参数方程化成普通方程 直线参数方程的标准形式
1、参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数t的函数
x f (t ), （1） y g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
倾斜角为
(2, - 1) ，
110°
（
1 x 3 2 t 2 直线 (t 为参数)方程中，t 的几何意义是 y 1 3 t 2
（A） 一条有向线段的长度
B
）
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
（1）当θ是参数， t 是常数( t 0,t )， 1
方程表示什么曲线？ （2）当 t 是参数，θ是常数( 方程表示什么曲线？
k ,k Z )， 2
x si θn , （1） 1 t t y cos . θ 1 t t 再将两方程的两边平方后相加，得
直线参数方程的应用（标准形式） 1） 求一端点是M0(x0,y0)的线段长
2)
求弦长 长 的和与积
3） 求一端点是M0(x0,y0)的两线段
练习
2 t x 2 2 1. 直线 (t 为参数)上到点 M(2,3)距离为 2 且 2 y 3 t 2
在点 M 下方的点的坐标是____________
| M M | ( 4 3 4 4) 2 ( 4 0) 2 8 0
解二
将( 1 )代入 y=x+4
3
得:
1 3 1 3 t 4 t4 3 ( )t 4 3 4 2 2 2 2 t 8 | M 0 M || t | 8
例9
x 1 3t 已知 过点P0 ( 1, 2 )的直线l : ( t为参数 ) y 2 4t 2 与双曲线 （y -2） x 2 1相交于A,B两点，求 （1） P0 A P0 B| | || (2)|P0 A P0 B| |+| (3) |AB| ( 4) 弦AB中点C与P0间距离 （5） 的坐标 C
∴t=2
t=
x 4 3 y 1 x 4 3 y 1
M（4
3
，1）
3
M（ 4
3
，1）
3
，1）或 M（ 4
，1）
例8
已知直线 L 过点 M0 （4， ， 0） 倾斜角为

6
(3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M， 求M0M 3 y ( x 4) （3）解一 由 得交点 M（4( 3 +1),4） 3 y x 4 3
x
2
12 (t ) t

y
2
12 (t ) t
1
（椭圆）
k （2）当 t 是参数， （k是整数） 2
x 1 t , sin t y t 1 cos t
2
消去 t，得
x y 1 2 2 4 sin 4 cos
（双曲线）
2
说明
例3 将下列参数方程化为普通方程
① x v0 cos t , 1 2 y v0 sin t 2 gt ② x 解：由①得： t v0 cos
代入②，消去参数 t ，得普通方程
g sin 2 y 2 x x 2 2v0 cos cos
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫 做普通方程。 参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何 意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
例1
参数方程
x 3cos 2 y 3sin 0，
x 3cos 0, 是否表示同一 与 y 3sin
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
非标准形式
x x 0 at y y 0 bt
一般说来， t不具有上述 几何意义
(t 为参数)
a 0时 表示过定点（x0，y0） ，
b 斜率为 的直线的参数方程 a
练习
x 2 t sin 20 0 1 直线 (t 为参数), 经过定点 0 y 1 t cos 20

6
(2)若 L 上一点 M 满足M0M=2，求点 M 的坐 标 (3)若 L 与直线 y=x + 4
3 交与点 M， 求M0M
解 （1）直线 L 的参数方程是
3 x 4 t 2 （t y 1 t 2
为参数）
2
（2） ∵M0M=2 t=2 时 t= 2 时 ∴M（4
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其 中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度 单位与原直角坐标系的长度单位相同。
曲线？为什么？
例2
参数方程
x 3cos 0， 2 y 3sin
x 3sin 0， 是否表示同一 2 与 y 3cos
曲线？为什么？
说明
如果消去参数后得到的普通方程形 式相同，而且方程中x，y的取值范围也 相同，那么两个参数方程表示的是同一 曲线。
9
44 33 ( , ) 弦 P1P2 中点 M 的坐标是________________ 25 25
4.设抛物线 y2=4x 的焦点弦被焦点分为长度分别是 m 和 n 的两 部分,则 m 与 n 的关系是 (A)m+n=4 (B) mn=4 (C) m+n=mn ( )
(D) m+n=2mn
5.从抛物线 y2=2px(p>0)外一点 A(2,4)引倾斜角为 45°的割线 与抛物线交于点 M1,M2,若 |AM1|、|M1M2|、|AM2|成等比数列, 求抛物线方程。 6.过点 P（1，2）作直线 L 交椭圆 x2+2y2=8 于 M,N 两点 ， 且 | PA| | PB| = ，求此直线的倾斜角。
2 3
x 1 cos , 例4 参数方程 表示的 2 y sin . 曲线是_______ .
2
解：曲线的普通方程是 x– y =0 其中变量 x 的取值范围是[ 0，1 ]. 方程表示的曲线是线段.
例5
t x 1 t2 将参数方程 ( t为参数 )，化为普通方程 2 y 1 t 1 t2
1 x sin 解：令t tan ,则 4x2 y 2 1 2 2 y cos 1 t2 又从条件y ，得y 1 2 1 t 所求普通方程为4 x 2 y 2 1( y 1 )
例6 方程
1 x ( t t ) sin , （t 0） y ( t 1 )cos . t
说明： 参数 t 的有关性质 一、
对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则 1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A t B | ， 特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
t A tB 2．A、B 两点的中点所对应的参数为 ， 2
y y0 x x0 =t sin cos
即
x x0 t cos , (t是参数） y y0 t sin .
2、直线参数方程的标准形式：
过定点 M 0 ( x0 , y 0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
x x 0 t cos 数方程为 ，(t 为参数) y y 0 t sin
参数方程的本质是将曲线上任意 一点的坐标x,y都表示成某个参数的 函数，而定义域是函数的要素之一， 定义域对函数的值域有重要的制约 作用。因此，要重视参数方程中对 参数的限制条件，或者说，参数的 取值范围也是参数方程的组成部分。
例7 将直线的点斜式方程 y-y0பைடு நூலகம்tgα(x-x0) 化为参数方程 解:将直线的点斜式方程变形为
x 3 4t 3 已知直线 (t 为参数),下列命题中错误的是 （ ） ．． D y 4 3t
(A) 直线过点（7，1）
3 (B) 直线的倾斜角为 arctg 4
(C) (D) 直线不过第二象限 | t |是定点 M0（3，4）到该直线上对应点 M 的距离
例8
已知直线 L 过点 M0 （4， ， 0） 倾斜角为 (1)求直线 L 的参数方程