一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）．A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）．A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）．A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的（ ）．A ．内部B ．外部C ．圆上D ．与θ的值有关5．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）．A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线6．两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含7．与参数方程为()21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ）． A ．2214y x += B ．221(01)4y x x +=≤≤ C ．221(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤8．曲线5cos ()5sin 3x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩的长度是（ ）．A ．5πB ．10πC ．35π D ．310π9．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．A ．22B ．23C ．11D ．2210．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）．A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-11．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则||PF 等于（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．512．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）．A ．98B ．1404C ．82D ．9343+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________． 14．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______．15．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________．16．设()y tx t =为参数，则圆2240x y y +-=的参数方程为____________________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）求直线11:()53x t l t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P与(1,5)Q -的距离．18．（本小题满分12分）过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求||||PM PN ⋅的值及相应的α的值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，(2,0),(0,2),(cos ,1sin )A B C θθ--+(θ为变数)， 求ABC ∆面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．21．（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程： （1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．22．（本小题满分12分）已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；（2）若点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．答案与解析：1．B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2．2．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 3．D 233122y t k x t --===--． 4．A ∵点(1,2)到圆心(1,0)-的距离为22(11)2228++=<(圆半径)∴点(1,2)在圆的内部．5．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线． 6．B 两圆的圆心距为22(30)(40)5--+-=，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．7．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得． 8．D 曲线是圆2225x y +=的一段圆弧，它所对圆心角为233πππ-=． 所以曲线的长度为310π． 9．D 椭圆为22164x y +=，设(6cos ,2sin )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθϕ+=+=+≤．10．D 2213(1)(33)1622t t ++-+=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==， 中点为11432333342x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪=-+⨯⎪⎩． 11．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，||PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4． 12．C 2222212122x t x t y t y t ⎧=-+⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入22(3)(1)25x y -++=，得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=，2121212||()441t t t t t t -=+-=，弦长为122||82t t -=．13．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩． 14．(3,4)-,或(1,2)- 222212(2)(2)(2),,22t t t t -+===±．15．6π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π，或56π．16．2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =，或241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩． 17．解：将153x ty t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，代入230x y --=，得23t =，得(123,1)P +，而(1,5)Q -， 得22||(23)643PQ =+=．18．解：设直线为10cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，代入曲线 并整理得223(1sin )(10cos )02t t αα+++=， 则12232||||||1sin PM PN t t α⋅==+， 所以当2sin 1α=时，即2πα=，||||PM PN ⋅的最小值为34，此时2πα=．19．解：设C 点的坐标为(,)x y ，则cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，即22(1)1x y ++=为以(0,1)-为圆心，以1为半径的圆． ∵(2,0),(0,2)A B -， ∴||4422AB =+=，且AB 的方程为122x y+=-， 即20x y -+=，则圆心(0,1)-到直线AB 的距离为22|(1)2|3221(1)--+=+-． ∴点C 到直线AB 的最大距离为3122+， ∴ABC S ∆的最大值是1322(12)3222⨯⨯+=+．20．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， （2）把直线312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入422=+y x ， 得22231(1)(1)4,(31)2022t t t t +++=++-=， 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．21．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()22t tt t x y e e e e θθ--==+-，而221x y +=，即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-；（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t tx e e -=±+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2t ty e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t tt t x e e ye e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin tt x y e x ye θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⋅=+-， 即22221cos sin x y θθ-=． 22．解：（1）由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩，设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数， 将参数方程①代入圆的方程2225x y += 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=， ∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>， 所以方程有两相异实数根1t 、2t ，∴212||||9(2cos sin )558AB t t αα=-=++=， 化简有23cos4sin cos 0ααα+=，解之cos 0α=或3tan 4α=-， 从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++=．（2）若P 为AB 的中点，所以120t t +=，由（1）知2cos sin 0αα+=，得tan 2α=-，故所求弦AB 的方程为2242150(25)x y x y ++=+≤．备用题：1．已知点00(,)P x y 在圆38cos 28sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩上，则0x 、0y 的取值范围是（ ）．A ．0033,22x y -≤≤-≤≤B ．0038,28x y ≤≤-≤≤C ．00511,106x y -≤≤-≤≤D ．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C ．2．直线12()2x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）． A ．125 B ．1255 C ．955 D ．91052．B 21512521155x t x t y t y t ⎧=+⨯⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⨯⎪⎩，把直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=，2212121281612||()4()555t t t t t t -=+-=-+=，弦长为12125||55t t -=． 3．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么||MN =_______________． 3．14||p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，121||2||2|2|M N p t t p t =-=． 4．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？ 4．解：显然tan y x θ=，则222222111,cos cos 1y y x x θθ+==+， 2222112t a n c o s s i n c o s s i n 2c o s c o s221t a n x θθθθθθθθ=+=+=⨯++，即22222221112111y y x x x y y y x x x +=⨯+=+++，22(1)1y y x x x +=+， 得21y y x x x+=+， 即220x y x y +--=．5．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩， 22cos sin 15sin()1x y θθθϕ+=++=++， ∴51251x y -+≤+≤+．（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥， ∴(cos sin )12sin()14a πθθθ≥-+-=-+-恒成立， 即21a ≥-．。