参数方程
一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数
t 的函数，即 ⎩⎨
⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．
1
y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：
中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：
θ
θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0
θ
θ
sin cos 00b y y a x x +=+=
Eg 3，
4
pt y pt x 222
== （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。

三、一次曲线（直线）的参数方程
过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
αα
sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧
②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式：
bt
y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当
t 得
y x
Eg
1231)y ≤≤ 4A ．2
01y y +==2
x 或 B ．1x = C ．2
01y +==2
x 或x D ．1y =
5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,
)3
π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3k k Z π
π+∈
6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
二、填空题
1．直线34()45x t
t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x t
l t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则
AB =_______________。

4
1（1
（2
2．及点P 与
3．在椭圆
22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

[综合训练B 组]
1．(,)
P a b
234A ．4(5,)3π--
B ．(5,)3π-
C ．(5,)3π
D ．5(5,)3
π
- 5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2
x B ．21(01)4
y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x
6．直线2()1x t
t y t
=-+⎧⎨
=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）
A
B ．1
404
C
D
二、填空题
1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪
≠⎨⎪=-⎩
为参数,t 0，
则它的普通方程为__________________。

2
3。

4。

5。

1 2（1
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

1．1．
1 2．1．1．2
(2)(1)(1)
x x y x x -=
≠- 2．(3,1)- 3 4．2
x y = 5．22
24141t x t t
y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
22
()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+；
而y tx =，即2241t y t =+，得2
2
24141t x t t
y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
三、解答题
1．当c o s ()14
π
θ+=-
时，max 12(25d =
+；当c o s ()14πθ+=
时，min 12
(25
d =。

2．解：（1
）1x ⎧=+⎪⎪⎨ （2）2。