单向应力状态 纯剪应力状态
思考：在下面单元体上，应 力已知，则该单元体所代表 的点处于什么应力状态？
y
50MPa
50MPa
50MPa
x
思考：纯剪应力状态，对 应于几向应力状态？
y
τy τx
x
§7-3 二向应力状态分析—解析法
如图所示原始单元体
取任意斜截面假想将单元体
y x
xy
分为两部分
x
xy
x
2
sin 2
45o: 2,m ax 2; 45o: 2,m in 2;
例题：原始单元体如图示。试求：
50
1）. 30o斜截面上的应力；
2）.主应力，主平面；
30o
30
3）.最大剪应力。
30o
20
解：写出各应力元素的具体数值
x 30MPa,y 50MPa,
应力单位：MPa
xy 20MPa,30o.
Ft 0:
x
t
n
dA (xd A co s)sin xy dA
(xydAcos)cos yx
(yxdAsin)sin
y
(ydAsin)cos 0
(x y ) s i n c o s x y c o s 2 y x s i n 2
又注三意角到公：式xy：c 2 o yx s 1 c2 o ,s s2 in 1 c2 o s
123
■ 应力状态概念的进一步说明
根据单元体的平衡条件分析任意方向面上的应力情况
拉中有剪
剪中有拉
根据单元体的平衡条件说明：同一单元体的不同方向面上 的应力一般是不相同的。这便是应力的截面方位的概念。
小结：一点的应力状态:
通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不 同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方 位的函数。
(xy)/2
min
e
d’
o
c
(y ,yx) b maxe’
在主剪应力面上( e, e’ ):
12(x y) a (x ,xy) max 圆心横坐标:
d
min
oc
1 2
(
xLeabharlann y)1 2
(
max
min
)
x y m a m x in
例题：原始单元体如图示。试用图解法求解：
1. 300， 300； （300）
■ 基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
N A
3、按照杆件受力的特点，在横截面上画出相应的应力；
4、画出单元体其他各面上的应力；
yx
y
二向应力状态的解析法
Fn 0:
x
t
n
dA (xdcAo)scos
(xydc Ao)ssin
xy dA yx
(yxdA si n)cos
y
(ydA si n)si n 0
x c o s 2 y s i n 2 ( x y y x ) s i n c o s
二向应力状态的解析法
右视图
M
M
M
T
T Wt
T Wt
弯曲梁上一点的单元体，剪力和弯矩都不为0，在横截面 上，既有剪应力也有正应力
dx
弯曲梁上四个点的单元体。四个点在横截面上，既有 剪应力也有正应力
P
P
z
P z
max
Q.SZmax IZb
m ax
M Wz
m ax
M Wz
M y Iz
Q
S
z
I zb
l
S
F
a
y
1
max min
m x a2 2 xm yinmxa 2xy2x2 y --- (3)
• (3)式中两式相加:
mmmmianxianx
m x 2 a m xx y2 iyn x 2 x 2xyy2y2x2 y
--- (4) ---（3）
例：讨论单向应力状态
x,yxy0
2x2xco 2sxco 2s
x
x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
二向（平面）应力状态 Biaxial ( Plane) Stress State
z 0
yz 0
zx 0
x
定义：在一个单元体上， 两个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于二向应力状态。
y
yx xy
x
y
y
x x
y
τyx
τxy
x
单向应力状态 ( Uniaxial Stress State )
对(1)式第一式求导, 得:
d d x 2 2 [ y x 2 x ys 2 in 2 y c 2 x o yc o s s 2 x s ]y 2 0 i n
x 2 y x 2 yco 2 sx s y i2 n ---（1）
x 2ysi2 n x y co2s
o
Re
b (y ,yx)
•在- 坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b； • a、b两点连线交轴于c点； •以c为圆心ac为半径作圆。
x y 2
a (x ,xy)
fc
o
Re
b (y ,yx)
o c o ffc y x 2 y x 2 y
acce2ae2(x 2y)2x 2y
3.应力圆的应用 y
点面对应
yx
A xy
x
a
c
转向、二倍角对应
y
xA A'
a'
2
C
a
•求任意斜截面上的应力
y
yx
xy
x
(xy)/2
( ,)
e 2
c b
(y ,yx)
a (x ,xy)
自ac与同向转2角得ec, 则e点的坐标就是面 上的、。
•求正应力的极值及方位：
(xy)/2
min
o d’ c (y ,yx) b
1 ). 3 0 o斜 截 面 上 的 应 力
30o
30503050cos60o(20)sin60o52.32M Pa
2
2
60o
3050sin60o(20)cos60o18.66M Pa 2
2）主应力，主平面
m m a in x3 0 25 0 3 0 25 0 2 2 02 6 1 2 7 ..4 6M M P P a a
纯剪应力状态 ( Pure Shear Stress State)
定义：在一个单元体上，仅有 一个主应力不为0，则称该单 元体所代表的点处于单向应力 状态。
定义：在一个单元体上，仅有 剪应力，而无正应力。则称该 单元体所代表的点处于纯剪应 力状态。
三 向 应 力 状 特例 态
平 面 应 力 状 特例 态
2 .1 ， 2 ， 3 ； 标 注 在 单 元 体 上 。
3 . m ax .
y
解题步骤：
60
n
1.建 立 坐 标 系
30 0
40
x
2.选取应力比例尺 k20MPa/cm
§7-1 应力状态的概念
■ 问题的提出
P
P
弯曲: M y 扭转 : T
Iz
Ip
cos2
sin 2
2
应力随点的位置变化 应力随截面的方位变化
•地震荷载作用下的墙体破坏
说明:
破坏面与受力 方向可能不一致。
推论:
对同一点:一 个方向上满足强度 要求,并不能说明已 经安全。
应力状态的初步概念：
主 主方 应 向 m m tg2力 a i n： x 0x 2： xy 2 xyy(x 2y)2x 2y
45o:m ax;
45o:m in ;
等价流出的剪 应力流方向
2.平面主剪应力: 剪应力的极值（极大、极小）
对(1)式第二式求导,经推导得:
t
g21
x y 2xy
---（4）
max min
通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该 点的应力状态。
应力是定义在“点”上的 pdF, dN, dQ
dA dA dA 材料力学中的“点”是物理点,不是几何点, 有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元 体。 单元体很小，可以认为:
(1)各个面上的应力均匀分布；
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。
tg 2 0
2 (20) 30 50
2,
0
3 1o 4 3 58o17
因为最大主应力σmax的作用面偏向 于流出的剪应力流方向,可作图
50
1
max 30 250220222.4M Pa
2
2 0
58o17
3 0
31o43
1 x
x 3
主应力迹线: 主应力方向在梁内的分布规律。
m m
1
m
•主拉应力1方向:
(x
y)2
2
x2y
---（5）
说明:
(1) 出现主剪应力的两个面相互垂直。
(2) 主剪应力的作用面上,正应力不一定为0。
讨论: •由(2)和(4)可知:
tg20 txg 22 xy0y ,ttg 2 1 g211x2xy y
推知: 2 0 与 2 1 相差90o ， 0与 1相差45o
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
自下而上由水平按顺时针转动。
2