初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识一. 本周教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。

正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。

二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33B.233C.23D.223解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1D又∵∠FAG ＝60° ∴=∠==AF FG FAG sin 132233 故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A. 1∶2∶3B. 123∶∶C. 123∶∶D. 123∶∶解：如图所示，OD 是正三角形的边心距，OA 是半径，AD 是高设OD r =，则AO ＝2r ，AD ＝3r∴OD ∶AO ∶AD ＝r ∶2r ∶3r ＝1∶2∶3 故选A点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的12。

通过这个定理可以使问题得到解决。

例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S S S 346、、之间的大小关系是（ ） A. S S S 346>> B. S S S 643>> C. S S S 634>>D. S S S 463>>解析：设它们的周长为l ，则正三角形的边长是a l 313=，正四边形的边长为a l 414=，正六边形的边长为a l 616=∴=︒=⨯⨯=S a l l 332221260121932336sinS a l S a l l44226622211661260612136323372===⨯︒=⨯⨯⨯=sin∴>>S S S 643故选B点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。

例4. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ，求证： （1）ME AB =； （2）ME BE BM 2=·点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。

证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则AB ⋂=⨯︒=︒1536072∴∠BEA ＝36°EC ⋂=⨯︒=︒25360144∴∠=⨯︒=︒∴∠=︒-︒-︒=︒=∠∴==EAC EMA EAM ME AE AB1214472180367272（2） BC AB CAB BEA ⋂=⋂∴∠=∠，又∵公共角∠ABM ＝∠EBA ∴△ABM ∽△EBA∴=∴=AB BE BMABAB BE BM2·例5. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。

解：∵正六边形的半径等于边长 ∴正六边形的边长a cm =2 正六边形的周长l a cm==612正六边形的面积S cm =⨯⨯⨯⨯=6122232632 点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

例6. 已知正方形的边长为2cm ，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。

解：∵正方形的边长为2cm ∴正方形的外接圆半径为2cm∴外接圆的外切正三角形一边上的高为32cm∴正三角形的边长为3260323226sin ︒==cm∴正三角形的面积为12262632632⨯⨯⨯=cm 点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。

例7. 如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，⊙O 1和⊙O 2的半径分别为r 和3r ，AB 为两圆的外公切线，A 、B 为切点，求AB 与两弧PA PB ⋂⋂、所围的阴影部分的面积。

解：连结O A O B 12、，过点O 1作O C O B 12⊥在Rt O O C ∆12中，O O r r r O C r r r 1223432=+==-=， ∴=-=O C r r r 12216423 ∴梯形O ABO 12的面积为：()12323432r r r r +=· 又∵sin ∠===O O C O C O O r r 212122412∴∠=︒∴∠=︒∠=︒O O C O PO A 21213060120，∴扇形O PA 1的面积为：1203601322ππr r = 扇形O PB 2的面积为：6033603222ππ·()r r = ∴阴影部分的面积为： 431332431162222r r r r --=-⎛⎝ ⎫⎭⎪πππ点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。

例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。

解：由弧长公式l n R=π180，得： 当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为()n R+1180π()n Rn R +-=⨯=11801801180180ππππ∴弧长增加π180，故填π180点拨：本题主要考查弧长公式l n R=π180。

例9. 如图，大的半圆的弧长为a ，n 个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n 个小半圆的总弧长为b ，则a 与b 之间的关系是（ ）A. a b =B. a nb =C. a bn=D. a b =π解：设大半圆的半径为R ，小半圆的半径为r 由题意，得：a R =π ∴=R aπ∴小圆的半径r a n =π∴每个小半圆的弧长为ππ·a n a n = ∴n 个小半圆的总弧长b n ana ==·即b a =，故选A 。

点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。

例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的AC ⋂的长为6πcm ，BD ⋂的长为10πcm ，若AB cm =12，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 192πB. 144πC. 96πD. 48π解：设∠O ＝α，由弧长公式得：618010180618010180παππαπαα=︒=︒∴=⨯︒=⨯︒·，·，OAOBOA OB 又 AB OB OA =-∴=⨯︒-⨯︒∴=︒∴=⨯︒︒==⨯︒︒=121018061806061806018101806030αααOA OB ，∴阴影部分的面积为：()6030360601836030186962222︒︒-︒︒=⨯-=ππππ··故选C点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

例11. 如图所示，⊙O 的半径OA 为R ，弦AB 将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB 的长，如果将3∶7改为m ∶n ，此时弦AB 的长度是多少？点悟：欲求弦长AB ，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB 可通过两弧长之比3∶7求得，再利用ADRDOA =∠sin 求得AD ，AB 就可求。

解：作OD ⊥AB 于D ，连结OB ∵这两段弧之比为3∶7∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7 设这两个圆心角的度数为3x ，7x ，则 37360x x +=︒即AB AmB AOB ⋂=︒=︒∠=︒108252108，，⌒∴∠DOA ＝54°，又ADR=︒sin54 ∴AD ＝Rsin54°∵AB ＝2AD∴=︒AB R 254·sin同理可得3∶7改为m ∶n 时，解得： AB R mm nn m =+>2·sin()π 点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。

例12. 已知正六边形边长为a ，求它的内切圆的面积。

点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式S R =π2，需求内切圆的半径OH ，可依据正六边形的性质及边长a 求得OH OA AH =-22，代入面积公式，即可。

解：如图所示，设正六边形的边长AB a =，内切圆的圆心为O ，连结OA 、OB ，作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝30°()∴===∴=-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=∴==OA AH AB aOH OA AH a a a S OH a O 223234222222内切⊙ππ例13. 已知正多边形的周长为12cm ，面积为122cm ，则内切圆的半径为__________。

解：设正多边形是正n 边形，圆半径为r ∵正多边形的周长是12cm ∴正多边形的边长是12ncm 又∵正多边形的面积是122cm∴=∴=1212122n nrr cm ···()故应填2cm 。

点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。

（答题时间：30分钟） 一. 判断题。

1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。

（ ）2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。

（ ）3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。

（ ）4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。

（ ）5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。

（ ）6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。

（ ）7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。

（ ）8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。