材料力学篇——第一部分
第6章材料力学基本概念
教学提示：材料力学研究构件的强度、刚度和稳定性等问题，并将物体抽象为可变形固体。

本章
还介绍了截面法、内力、应力、变形等概念及杆件的四种基本变形。

教学要求：理解强度、刚度、稳定性概念，变形固体的基本假设，内力、应力和杆件变形的基本
形式。

6.1 材料力学的任务
为保证机械或工程结构的正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。

因此它应该满足下述要求。

⏹在规定载荷作用下构件不能破坏。

例如，齿轮不应折断，储气罐不能破裂。

所以，构件应
有足够的抵抗破坏的能力，这就是强度要求。

⏹在规定载荷作用下，某些构件除满足强度要求外，变形也不能过大。

例如，车床主轴的变
形过大将影响加工精度。

所以，构件应有足够的抵抗变形的能力，这就是刚度要求。

⏹有些受压力作用的构件，如千斤顶的丝杆，驱动装置的活塞杆等，应始终保持原有的直线
平衡形态，保证不被压弯。

即构件应有足够的保持原有平衡形态的能力，这是稳定性要求。

若构件的截面尺寸过小或材料质地不好，以致不能满足上述要求，便不能保证机械或工程结构的安全工作。

反之，不恰当地加大横截面尺寸。

选用优质材料，虽满足了上述要求，却增加了成本。

材料力学的任务就是：
⏹研究构件的强度、刚度和稳定性；
⏹研究材料的力学性能；
⏹合理解决安全与经济之间的矛盾。

构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究和理论分析是完成材料力学的任务所必需的手段。

6.2 变形固体及其基本假设
由于变形固体的性质是多方面的，而且很复杂，因此常忽略一些次要因素。

根据工程
力学的要求，对变形固体作下列假设。

⏹连续性假设：认为构成物体的整个体积内毫无空隙地充满了它的物质。

实际上，组成固体
的粒子之间存在着空隙并不连续。

但这种空隙与构件的尺寸相比极其微小，对于工程中研究的力学问题可以不计。

于是就认为固体在其整个体积内是连续的。

这样，当把力学量表示为固体某位置坐标的函数时，这个函数是连续的，便于使用数学中连续函数的性质。

⏹均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。

就金属而言，组成金属的各晶粒
的力学性能并不完全相同。

但因构件或它的任意一部分中都包含大量的晶粒，而且无规则地排列。

固体每一部分的力学性能都是大量晶粒性能的统计平均值，所以可以认为各部分的力学性能是均匀的。

这样，如从固体中任意地取出一部分。

不论从何处取出，也不论大小，力学性能总是一样的。

⏹各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同。

就单一的金属晶粒来说，沿
不同方向的性能并不完全相同。

因金属构件包含大量的晶粒，且又无序地排列，这样沿各个方向的性能就接近相同了。

具有这种属性的材料称为各向同性材料。

如铸钢、铸铜、玻璃等即为各向同性材料。

也有些材料沿不同方向的性能并不相同，如木材、纤维织品和一些人工合成材料等。

这类材料称为各向异性材料。

6.3 内力、截面法和应力的概念
为了显示出内力，用截面m—n假想地把构件分成A、B 两部分，任意地取出部分A作为分离体如图6.1(b)所示。

对部分A，除外力F1、F2、F3外，在截面m—n上必然还有来自部分B的作用力，这就是内力。

部分A是在上述外力和内力共同作用下保持平衡的。

类似地，如取出部分B[图6.1(c)]，则它是在外力F4、F5和m—n截面上的内力共同作用下保待平衡。

至于部分B的截面m—n上的内力则是来自部分A的反作用力。

根据作用和反作用定律，A、B两部分在截面m—n上相互作用的内力，必然是大小相等方向相反的。

用截面法求内力可归纳为四个字。

⏹截：欲求某一截面内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。

⏹取：取其中任意部分为研究对象，而去掉另一部分。

⏹代：用作用于截面上的内力，代替去掉部分对留下部分的力。

⏹平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力。

因为假设固体是连续的，截面m—n 上的每一点都应有两部分相互作用的内力，这样，在截面上将形成一个分布的内力系[图6.1(b)、图6.1(c)]。

应力的概念，参照图6.2。

首先围绕K点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为ΔF，ΔF与ΔA的比值为
p m是一个矢量，代表在ΔA范围内，单位面积上的内力的平均集度，称为平均应力。

当ΔA趋于零时，p m的大小和方向都将趋于一定极限，得到
p称为K点处的全应力。

通常把全应力p分解成垂直于截面的分量σ和相切于截面的分量τ，σ称为正应力，τ称为切应力[图6.2(b)]。

应力即单位面积上的内力，表示某截面ΔA→0处内力的密集程度。

在新标准中应力的国际单位为Pa或MPa，且有
1Pa =1N/m
1MPa =106 Pa
1GPa＝109Pa
6.4 变形与应变
⏹线变形和角变形、线应变和角应变
在图6.3 中，固体的M点因变形位移到M′，矢量MM′即为
M点的位移。

这里假设固体因受到约束不可能作刚性位移，M
点的位移全是由变形引起的。

设N为M 的邻近点，MN的长度
为Δs。

变形后N点的位移为NN′。

这样，变形前的线段MN变形
后变为MN′ ′，其长度由Δs变为Δs+Δu。

这里Δu 代表变形前、
后线段MN的长度变化，即
于是比值
表示线段MN每单位长度平均伸长或缩短，称为平均应变，若使MN趋近于零，则有一点线应变
称为M点沿水平方向的线应变或简称为应变。

线应变，即单位长度上的变形量，为无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向长度变化的程度。

固体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化。

例如在图6.4中，变形前线段MN和ML相互正交，变形后MN′ ′和ML′ ′的夹角变为∠L′M′N′。

变形前、后的角度的变化是
当N和L趋近于M时，上述角度变化的极限值是
称为M 点在平面内的切应变或角应变。

切应变，即一点单元体两棱角直角的改变量，其量
纲为一的量。

【例6.1】两边固定的薄板如图6.5所示。

变形后ab和cd两边保
持为直线。

a点沿垂直方向向下位移0.025mm。

试求ab边的平
均应变和ab、ad两边夹角的变化。

解：由公式(6-2a)，ab边的平均应变为
变形后ab和ad两边的夹角变化为
由于γ非常微小，显然有
6.5 杆件变形的基本形式
根据受力情况，杆件的整体变形有以下四种基本形式。

⏹拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，
表现为杆件的长度发生伸长或缩短[图6.9(a)]。

⏹剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线相互平行且靠近的力引起的，表现为受
剪切杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动[图6.9(b)]。

⏹扭转：变形形式是由大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力偶引起的，表现
为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动[图6.9(c)]。

⏹弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对
大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为曲线[图6.9(d)]。

杆件同时发生两种以上基本变形的，称为组合变形。

小结
思考题。