整体变形-微段变形累加的结果
x •拉压杆 杆长为l
•有限长杆子两端部相对变形
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形 -微段变形累加的结果
x
扭转杆 •杆长为l
•有限长圆轴两端部相对扭转角
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形 -弯曲变形
•弯曲梁变形基本的特征:
弹性范围加载
梁的轴线变成 光滑连续曲线
各个力偶和集中力作用的结果叠加
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
单个力偶作用的情形 x坐标,正方向从左指向右
S
A
•第i个力偶Mi 作用于x=ai处 •考虑xai, xai内力弯矩
M ( M i ) M i x ai
•仅考虑左段的平衡
0
第10章 弹性杆件位移分析
BC段
F x P EI
F wx P EI
3 1 3 1 l 7 2 l x x x 6 4 128 8
加力点B处的挠度(x=l/4)和支承处A(x=0)和C(x=l) 的转角分别为
3 FP l 3 wB 256 EI
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形
O
转角 ：截面绕中性轴转角 定义角 1:挠曲线切线与x轴夹角.
P
a
dw t an1 1 dx 由 1 dw dx
梁弯曲变形后任一截面的位移： •可以用w,dw/dx描述
•需要确定挠度和转角的函数表达式
讨论:位移与约束的关系
•BC处为轴承支座,A 端为齿轮, 齿轮重量可 •看作外力，大小Fp
B
避免过度弹性变形发生, 需要了解 位移分布，为刚度设计奠定基础
•位移分析
刚度设计
目的：就是根据零件和构件的不同工艺 要求，将最大的位移限制在一定范围内
弹性体位移与弹性杆件的位移区别
•弹性体(弹力)：受力变形后,一点位置 的改变. •弹性杆件(材力)：横截面的位移
xa
n

0
( x a)
( x a)
n
( x a)
幂函数
•奇异函数图形
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •0阶奇异函数
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •1阶奇异函数
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •2阶奇异函数
3 2 2
1
1


第10章 弹性杆件位移分析
确定梁位移的积分方法
小挠度情形下
d2w dx 2 dw 1 dx
2
dw 1 dx
2
1
y


3
2
d2w M 2 EI dx
此即弹性挠曲线的小挠度微分方程
d2w M 2 EI dx
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
单个集中力作用的情形 •x坐标,正方向从左指向右 j
A
S
•第j个集中力FPj 作用于x=bj处
•考虑x bj, xbj内力弯矩
M ( FP j ) FP j x b j
1
若杆子上有
•m(1im)个力偶,n(1 j n)个集中力共同 作用, 弯矩方程如何用奇异函数表示?
•问题:仅仅已知梁变形是否可确定 梁位移？
•三种情况梁:
AB段弯矩相同，AB段长度相同，EI相同
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
没有约束无法确定绝对位移
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
约束对位移的影响
•AB段弯矩为 x
Fp a
w
•AB段位移为正:W>0
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
C
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁位移的奇异方法

奇异函数法在求解梁位移中的应用
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的定义 奇异函数图形 奇异函数微分和积分 奇异函数法求解梁位移中的应用
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
n阶奇异函数定义（Singular Function）
7 C1＝C2 FPl 2 128
x
FP 3 2 7 2 x l EI 8 128
AB段
wx
FP 1 3 7 2 l x x EI 8 128
2 3 2 1 l 7 2 l x x 8 2 4 128
奇异函数的应用
例题2
已知：FP、EI、l
用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角
关键:弯矩方程用奇异函数表示 •首先建立坐标系 •求支反力 •标出梁的受力 •列弯矩方程
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
例题2
（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力3FP/4 和载荷FP)
3 1 l M ( x) FP x 0 FP x 4 4
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
一般情形: m个力偶和n个集中力共同作用 n m 1 0 M ( x ) M i x ai FP j x b j j 1 i 1
•叠加:各载荷单独作用下引起的奇异函数表示 的弯矩进行代数值相加
第10章 弹性杆件位移分析
•弯曲梁弯矩方程如何用奇异函数表示
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
M1
FP1
FP2
Mm
M2
……
……
FPn
•m(1im)个集中力偶,n(1 j n)个集中力,
i为集中力偶的下标,j为集中力的下标
•弯矩方程如何用奇异函数表示?
--弯矩用奇异函数表示
总体思路:
每个力偶单独作用的结果
每个集中力单独作用的结果
建立x-w坐标系, AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段
BC段
3 M 1 x FP x 4
0 x
l 4 l x l 4
3 l M 2 x FP x－FP x－ 4 4
3将弯矩表达式代入小挠度微分方程
基本概念
微段变形（拉压,扭转,弯曲） 整体变形（拉压,扭转,弯曲）
•为什么要研究微段的变形? •因为杆件的内力一般不是均匀的，选择 微段使问题简化； •是研究整体变形的基础
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
微段变形：拉压杆
•微元两截面的相对伸长
dx+dux
•EA为拉压刚度
第10章 弹性杆件位移分析
•正负号如何确定?
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ移的积分方法
d2w M 0, 2 0 dx
d2w M 0, 2 0 dx
d w M 2 EI dx
2
d w M 2 EI dx
2
d2w M 2 EI dx
应用积分法
dw M( x ) dx C dx EI M( x ) w ( dx ) Cx D EI
1
(0 x l )
上式可简化
M ( x)
3 FP x 0 4
1
l FP x 4
1
(0 x l )
可简化为
M ( x)
l 3 F x FP x P 4 4
1
(0 x l )
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
例题2
（2）挠度微分方程
A
B
D
Fp a
M
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
约束对位移的影响
•AB段弯矩为
Fp a
x
w
•AB段位移为负:W<0
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
C
A
B
Fp a
M
•归纳一下三种情况: •弯矩相同,变形相同,但位移不相同(?).
•约束条件
结论：梁的挠度不仅与梁变形有关而且 与约束有关.即使变形相同,不同约束 导致的位移是不同. •约束对位移起关键作用。
分析下列弹性杆件有哪些位移？ •拉压杆 •圆截面扭转杆 •弯曲梁
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念(微段变形和整体变形) 确定梁位移的积分方法 奇异函数求解梁位移的应用 工程中的叠加方法 简单的超静定问题 结论与讨论
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
第10章 弹性杆件位移分析
积分常数的确定：根据约束条件.
约束条件：指约束对于挠度和转角的限制.
•在固定端，约束条件为挠度和转角都等于 零，w=0,=0. •在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为 w=0。
积分法例题1
已知：简支梁受力如 图示。FP、EI、l均为 已知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
1． 确定梁约束力 2． 分段建立梁的弯矩方程
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的微分和积分
d xa dx
n
0
( x a)
n 1

n( x a)
( x a)
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的积分

x a dx
n
0
( x a)
1 n 1 ( x a) C n 1 ( x a)
3 EI 1 FP x 2 C1 8 1 EIw1 FP x 3 C1 x D1 8