正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
正弦、余弦函数的图象
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1)
sin(
18
)
–
sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数
sin( ) < sin( )
10
18
即：sin(
18
) – sin(
10
)>0
(2) cos( 23 ) -
5
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
关于y轴对称
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
4
4
单调增区间为 [k , k 3 ]
4
4
(4)
y log [
1
cos( 1
x
)]
2 34
12Βιβλιοθήκη 解: 定义域2k1
x
2k
23 4
2
当 2k 1 x 2k 即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为减区间
23 4
4
4
当
2k
x
2k
即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为增区间
2
2
[ +2k, 2k],kZ 单调递增 [2k, 2k + ], kZ 单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
数学之友 明天评讲98 99 100 星期六 做练习
4
正弦、余弦函数的单调性
例2 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
+2k,
2
+2k],kZ
上单调递减
函数在
[
2
+2k, 3
2
+2k],kZ上单调递增
解(：22)ky=3sin(2x2- x4
)
2k
k
x k
3
2
4
2
8
8
其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性 y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x -
…
2
…
0… 2
…
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
], k
Z
x [k
3
4
, k
],k Z
4
2
y为增函数
x [k , k ],k Z
4
4
y为减函数
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
单调性（单调区间）
[
2
+2k,
2
+2k],kZ
单调递增
[ +2k, 3 +2k],kZ 单调递减
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
2k 2 x 2k 3 k 3 x k 7
2
4
2
8
8
所以：单调增区间为 单调减区间为
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
正弦、余弦函数的单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
8
解： 0 tan 9 1
8
单调减区间为 [k , k ]
34
2
4
4
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ 4 )|
解：
令x+
4
=u
,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y
1
y=|sinu|
2 3
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 u [k , k ], k Z
减区间为
u [k
2
, k
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5
5
5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos 4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3x, (2) y sin x cos x
(3) y 1 sin x
例2：已知函数f (x) 2ax x3 sin x 3,若f(2)=3, 1)求证：函数g(x)=f (x) 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？