分数加减法的奥数题
知识点一任意一个自然数1除外作为分母的所有最简真分数的和，等于最简真分数的个数除以2。

1 2 3 4 5 6
例1 计算(1) —＋—＋—＋—＋—＋—
7 7 7 7 7 7
1 3 7 9
(2) —＋—＋—＋—
10 10 10 10
通过计算，你能从中发现什么规律？
练一练(1) 分母是9的所有最简真分数的和是( )。

1
(2) 以—为分数单位的所有最简真分数的和是( )。

12
知识点二两个分数单位相加减，如果它们的分母是互质数，那么所得的结果的分母是算式中两个分母的乘积，分子是算式中两个分母的和或差，运用这个规律，我们可以使计算简便。

例2 计算下面各题说说你发现了什么？
1 1 1 1 1 1 1 1
—＋— = —＋— = — - — = — - — =
2 3 4 7 2 3 4 7
练一练在括号里填上合适的数。

1 1 1 1 1 11
————— = —————— = —
( ) ( ) 12 ( ) ( ) 30
1
知识点三一个分数是相邻两个自然数的积作分母，形如: ——— ,可以
n×(n＋1)
1 1 1 1 1
把这个分数拆成— - —— ,即: ——— = — - ——。

利用这个规律可以使
n n＋1 n×(n＋1) n n＋1
我们计算简便。

1 1 1 1 1 1
例3 计算——＋——＋——＋——＋——＋——
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
1 1 1 1 1 1
练一练计算—－— - — - — - — - — 4 20 30 42 56 72 知识点四一道算式里，第一个加数是1/2，依次每个加数的分母都是前一个分母的2倍，分子都是1，这道算式的结果就是1减去最后一个分数，即计算结果的分母是最后一个分数的分母，分子比分母少 1.
例4 不用通分，你能很快地算出下面算式的结果吗？ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 —＋—＋—＋——＋—＋—＋—＋—＋—
2
4
8
16
2
4
8
16
32
64
1 1 1 1 1 1 1 1 练一练 1- — = —— - — = ( ) — - — = ( ) — - — = ( )
2
2
2
3
3 4 4 5
1
1 1
1
从上题中你发现了什么？用你的发现计算—＋—＋—＋—
2
6
12
20
1．在
41
36、
83
72、
29
24、
13
12四个分数中，第二大的是 .
2.有一个分数,分子加1可以约简为31,分子减1可约简为
5
1,这个分数是
3.已知5
1
15
4%
75%
903
21
E
D
C
B A .把A 、B 、
C 、
D 、
E 这五个数从小到大排列,第
二个数是 .
4.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是 .
5.三个质数的倒数和为
231
a ,则a= .
6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和:
19951
9511919591= .
7.将
84
73、
57
46、
100
89、
36
25和
62
51分别填入下面各( )中,使不等式成立.
( )<( )<( )<( )<( ).
8.纯循环小数0.abc 写成最简分数时,分子与分母之和是58,请你写出这个循环小数 . 9.
24
131
1
1
.(要求三个加数的分母是连续的偶数).
10.下式中的五个分数都是最简真分数,要使不等式成立,这些分母的和最小是 .
5
4
3
2
1
.
11.我们把分子为1，分母为大于1的自然数的分数称为单位分数.试把
6
1表示成分母不同的两个单
位分数的和.(列出所有可能的表示情况).
12.试比较22…2与55…5的大小.
301
个2 129
个5
13.已知两个不同的单位分数之和是
12
1,求这两个单位分数之差的最小值.
14.(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分? (2)如果把上面(1)中的“４个孩子”改为“７个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？
———————————————答案——————————————————————
1.
4136提示,将分子“通分”为72，再比较分母的大小. 2.
15
4事实上,所求分数为31和51的平均数,即(31+51)2=15
4
.
3. C 因为6
55
43
410
93
21
E
D
C
B
A ,又
3
21
3
410
96
55
4,所以D>E>B>C>A,故从小到大
第二个数是 C. 4. 2159
分母是n 的所有真分数共有n-1个,这n-1个分数的分子依次为1~n-1, 和为
2
)1(n n ,所以分母n
的所有真分数之和等于
2
1n .本题的解为
212+
21
292
1232
11921
1721132
1112
172
152
13=2
1+1+2+3+5+6+8+9+11+14=2
159
.
5. 131 因为231=3711,易知这3个质数分别为3,7和11,又
3
1+
11
17
1=
231
131,故a=131.
6.
191
7
4.
原式=
133
83399
249399
173
21995853
2199512110596,令
19
7
133
83b a ,则19a+7b=83,易见
a=4,b=1,符合要求. 7.
10089
84
7362
5157
4636
25.
提示:各分数的倒数依次为73111,46111,89111,25111,89
11
1.
8. 0.567
0.abc 化为分数时是999
abc
,当化为最简分数时,因为分母大于分子,所以分母大于582=29,即分母是
大于29的两位数,由999=33337,推知999大于29的两位数约数只有37,所以分母是37,分子是58-37=21.因为999
56727
37
272137
21,所以这个循环小数是0.567.
9. 4,6,8.
令
24
1341211a
a
a (a 为偶数).由
a
a a
a 34
12
1124
13，得13
7
5a
，故a=2或4，a=2时，
24
13614121，不合题意，因此，4a
.
10. 40 提示:145
11
4835221.
11.
令6
111b a ,则
a
a a
b
66
16
11.所以6
36
6
6
6a a a b
. 由a 、b 为整数，知
636a
为整数，即a-6为36的约数，所以16a
,2,3,4,6,9,12,18,36.所以
a=7,8,9,10,12,15,18,24,42,相应地b=42,24,18,15,12,10,9,8,7.
注意到b a
,所有可能情况为
10
115
17
142
18
124
19
118
16
1.
12.因为301=437,129=433,1125
1285
25
243
43
3
7129
301,所以301
2
>129
5
.
13.令b a
1112
1,且a<b,由
121=241+241
知a<24<b.依题意, a 尽可能大. 注意到
121=
28121
1301201=22,23不合要求,所以差的最小值为
84
128
121
1.
14. (1)
把9块中的三块各分为两部分:
4
34
11
,4
2421,4
34
11
.
每个孩子得41
2块: 甲:1+1+
4
1；乙:1+
4
24
3；丙: 1+
4
2+
4
3；丁:1+1+
4
1.
(2)好分,每人分72
1块:
甲:1+
7
2；乙:
7
47
5；丙:
7
67
3；丁:
7
11
7
1；戊:
7
37
6；己:
7
57
4；庚:
17
2.。