解
• 首先估计在低温时，有多少振动模式被激发 • 在低温时，只有 k B T 的振动模式才能被激 发。这些模式的波矢位于波矢空间中的球内， 半径为
qr k BT v p
• 这个球与Bebye球之比就是受激发模式与总的 振动模式(3N)之比
• 低温下，只有在qr 球内的振动模式被 激发，对热能的贡 献都是kBT • Debye模型认为大 球内的模式被激发， 按Debye模型计算 分布
• 因各向同性，积分可用球形区域积分代替
• 积分限？ D模型的局限，波长短时，弹性波？ • 在半径为qD的球内，D波矢，D频率，D温度 • 选择qD使N个波矢在这个球形区域内
2
V
3
N
4 3
qD
3
q D 6 n
2


1/ 3
n：单位体积原子数
• 相应的Debye频率为
D v pqD
• 如果温度下降，比热低于Dulong-Petit定律的 值：引自Phys. Rev. 184, 68 (1969). • 思考：是不是简 谐近似不够好？ • 温度低，可不可 以认为简谐近似 不再有效 • 但温度低，振动 小，按理说，简 谐近似应该是温 度越低越好!
比热的实验观察
• Dulong-Petit定律比热与温度无关，只在102 K 温度有效 • 低于室温，绝缘体的比热以T 3下降，而金属 则以AT + BT 3 下降 • 经典理论的能均分定理是不适用的 • ？ • 晶格振动的能量是量子化
q q+dq
(q )
dq表示两个等频率面之间的垂直距离， ds为面积元。
dq q ( q )
(q ) d (q )
Debye近似的声子态密度
• Debye近似 • 所以
D

q v p q
2
3V
3 qqD
v p q d q
• 思考：如何考虑晶格振动对固体热学性质的贡 献？
5、晶体的热学性质
• 用经典统计，能匀分定理，每个简谐振动的平 均能量为是kBT • 固体中有N个原子，就有3N个简谐振动模，总 平均能量 U 3 Nk B T • 热容
CV U T 3 Nk
B
• 就是Dulong-Petit定律，比热与温度无关。这 个结果在100K温度数量级与实验相符
CV
12 Nk
4
B
5
T D
3
• 用Debye近似得到的比热与温度的关系
• 引自J. de Launay, Solid State Physics, Vol.2, Academic Press, New York, 1956.
comments
• • • • 温度越低，Debye近似越好 ？ 因为在极低温度下，只有长波激发才是主要的 对于长波，晶格可被看作是连续介质——弹性 波 • 很成功。但随低温技术发展，实验显示出偏差 • 如果D理论精确成立， Debye温度与温度无关 • 但按实际测量得到的CV~T曲线拟合Debye温度， Debye温度与温度有关，或者说，Debye温度取 作常数， CV~T曲线与实际测量有偏差

3N

i
i 1
T i / k BT

k
i 1
3N
B
3 Nk
B
• 即振子的能量远大于能量量子，量子化效应可 以忽略， Dulong-Petit定律成立
低温
k B T
• 这时，振动被“冻结”在基态，大大高于温度 的振动模式对比热的贡献可忽略不计。 • 假定弹性波，可用线性关系，即ω (q)~vpq • 利用这个关系并将前面求和改成积分后，最后 可得
CV ~ T
k B T
4
v
p
3
~T
3
中间温度
U

3N
i e
i / k BT
i 1
1
• 除了频率隙外，频率也是连续分布的，因此为 方便起见，将求和改为积分 • 需要引入频率分布函数（密度）或称声子态密 度ρ (ω ) ，即频率在ω 和ω +dω 之间的格波数，
Einstein近似
• Einstein近似认为各个原子的振动是独立的， 因此所有原子都以同样的频率ω E振动 • 后来通常用于光学支格波，它的色散比较小， q0，基本是常数 • 这时 3 N E U / k T e 1
E B
CV
E 3 Nk B k T B
2
e
E / k BT
e
E / k BT
1

2
• 常用Einstein温度来表示这个频率
E k B E
• 于是，比热为
CV E 3 Nk B T
2
e
E /T
e
E /T
1

2
• Einstein温度的确定是比较实验和理论曲线后 确定 • 温度很高时，上式导致Dulong-Petit定律 • 温度很低时，上式近似为
3
V
2
三维

V
2v p q
1/ 2
2
2
v
3/2 p

1/ 2
• 即
( )
• 二维时，等频率线实际上是一个圆环，半径为
q

vp
• 线长为 2 q
• 所以

• 即
2
2
S
dl q

S
2 q
2
2

S 4 v p
2v p q
( ) C
summary
• 格波能量声子能量量子化 • 如果某种格波ωl(q)被nl个声子占据，这种格波 的能量就是
1 l n l l (q) 2
• 声子是遵从玻色统计分布
n l (q)
1 e
ω l (q)/k
BT
1
• 声子的能量和准动量分别为 l 、 q
CV U T V

最大
0
kB k T B
2
e
/ k BT
e
/ k BT
1

2
d
• 关键是频率分布函数。但它的计算相当复杂， 需要具体的晶格动力学计算，通常采用两种近 似：Einstein近似和Debye近似
2
3V 2
2
2 3 p
v
d d
• 于是
U
3V 2 v p
2 3

D
d
3
0
e
/ k BT
1
CV
3V 2 v p
2 3

D
0
e / k BT 2 d kB 2 k T / k BT 1 B e
• 平均热能也是
n k B T
• 因此，低温时，对比热有贡献的振动的总能量 是
2
3
V
dS l q


l
l
2
3

l
dS l q
( ) lim
n
n 0
n 表示 d 间隔内晶格振动模式的数目
先假设 ( q ) 为常数
n V ( 2 )
3
dsdq
x
3
0
6

1 n
4

D

4
n 1
15
d 3 N
2
3N

3V 2
2
2 3 p
d
1 3V D
3
0
v
3 2
2
vp
3
D
6N v V
3 3 p
1/ 3
kB D
• 可得
U 3 Nk B T
4 4
5
3 D
二维
• 一维时，等频率点为两个关于原点对称点，距 离是 q vp
• 于是

L
2 q
2

L
2
2 2 v p q
1 / 2 一维

L 2 vp

1 / 2
• 即
( )
例题
• 用简单模型定性估计：在低温下，晶格 振动对比热的贡献与温度T的三次方成正 比，并与Debye定律比较。
2


• 作变量变换 x
• 得
U
k BT
3V k BT
3 4 4
2 v p
2

4
3

3
D
x dx e 1
x
3
0
CV
3V 2 v p
2 3
k BT
3

D
e x dx e 1
x
x
4
0
• 并利用积分关系（已假定在极低温度下，可将 积分上限取为无穷大）


D
0

x dx e 1
• 高于Debye频率的振动模式对比热的贡献都被 忽略，相应的Debye温度为
D D kB v p q D kB
• 频率密度可以这样得到：将在q空间，球壳 q~q+dq之间的振动方式转换成在频率ω ~ ω +dω 之间的振动方式（计及三种弹性波）
3 V
2
3
4 q dq
U
u