庖丁巧解牛知识·巧学一、不等式用不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.像a+2≠a -2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．深化升华 ①不等式表示的是不相等的关系，比如：2≠1，小象的重量>小马的重量等； ②常见的不等符号有：>, <,≤,≥,≠．二、不等式的解集1．不等式的解：一般地，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．误区警示 ①不等式的一个解是满足不等式的未知数的一个值；②一般地，不等式的解不止一个，往往会有无数个．2．不等式的解集（1）不等式的解集：指由不等式的所有的解组成的集合，简称解集．辨析比较 不等式的解集与不等式的解：①不等式的解集是由不等式的所有的解组成的，换言之，不等式的解集中任何一个数都是不等式的一个解；②不等式的解有无数个，所以，不等式的解集是一个范围.（2）不等式解集的表示方法①一种是“数”的方法，即用一个与它解集相同的最简单的不等式表示（如x>a,x<b ），比如x-2<4的解集是x<6，2x>-12的解集是x>-6；②另一种是“形”的方 法，即用数轴表示，比如52x>50的解集是x>75，在数轴上表示为：图9-1-1深化升华 在数轴上表示不等式解集的步骤为：①定“界点”，各界点本身如果是不等式的解，就用实心点，否则用空心点；②定“方向”，相对于“界点”而言，不等号是大于号时方向向右，不等号是小于号时方向向左.（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式，解不等式的结果是得到一个不等式的解集．3.一元一次不等式含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．误区警示 一元一次不等式是最简单的代数不等式，它是整式形式的不等式，比如3250<x 不是一元一次不等式，因为未知数x 在分母中，使得该不等式不是整式形式的． 三、不等式的性质不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变． 即，如果a>b ，那么a ± c> b ± c.不等式的性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即，如果a>b, c>0,那么ac>bc （或cb c a >). 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 即，如果a>b,c<0,那么ac ＜bc （或cb c a <)．辨析比较 等式性质和不等式性质的相同之处和不同之处在于：等式的性质有2条，它们表明，等式两边进行同样的加（减）乘（除）运算时相等关系不变；不等式的性质有3条，它们表明，不等式两边进行同样的加（减）乘（除）运算时大小关系有时改变，有时不变，对于乘（除）法运算，不等式要分乘数（除数）的正负分别论述，两者的结果不同．记忆要诀 同加或减同一数，不等式号还如故.同乘除以同一数，要看次数正与负.只有负数才变号，是零还要分乘除.乘零两边变相等，两边除零不可行.典题·热题知识点一不等式及其解集例1用不等式表示(1)a 与1的和是正数;(2)y 的2倍与1的和大于3;(3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数;(4)c 与4的和的30%不大于-2;(5)x 除以2的商加上2,至多为5;(6)a 与b 两数的和的平方不可能小于3.解析：注意不大于、至多（指小于等于，用符号≤表示）和不小于、至少（指大于等于，用符号≥表示）的表述方法.答案：(1)a+1>0;(2)2y+1>3; (3)2x +2x≤0;(4)30%(c+4)≤-2; (5)2x +2≤5;(6)（a+b ）2≥3. 方法归纳 用不等式表示不等关系时，一定要注意题目所表达的是什么样的不等关系，然后采用不同的不等符号.常见不等符号有：>,<,≤,≥,≠.例2下列各数中：-3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5，其中是不等式x+1<3的解的数是_________.解析：不等式的解指的是能使不等式成立的未知数的值.将题中所列各数代入不等式x+1<3，逐一验证即可得到答案.答案：-3,-1,0,1,1.5例3在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1解析：按画数轴,定界点,走方向的步骤作答.答案：如图9-1-2所示图9-1-2例4如图9-1-3，天平右盘中的每个砝码的质量都是1 g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为_____________．图9-1-3解析：根据图形知道,物体A 的质量应该大于1 g 而小于2 g ，故选择A ．答案：A方法归纳 不等式是用来表示生活中的不等关系的式子,数轴是它的一种表示方式,关键是要弄清楚界点是否属于这个范围．知识点二不等式的性质例5利用不等式的性质解下列不等式 (1)x-7>26;(2)3x<2x+1;(3)32x>50;(4)-4x>3. 解析：利用不等式的性质将所给的各个不等式变形为最基本的形式，不等式的解集是最简单的不等式形式（x>a 或x<b 等）.解决这类问题的关键是：根据题目的特点，选择利用不等式的相应的性质来解决.答案：（1）根据不等式的性质1，两边都加上7，得x-7+7>26+7,整理得x>33.(2）根据不等式的性质1，两边都减去2x ，得3x-2x<2x-2x+1,整理得x<1.(3)根据不等式的性质2，两边都乘以23（或除以32），得 23×32x ＞23×50, 整理得x>75.(4)根据不等式的性质3，两边都乘以41-，得 -4×(41-)x ＜3×(41-), 整理得x<43-. 误区警示 不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变． 例6三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？解析：我们已经学过了“三角形两边之和大于第三边”，利用不等式可以表示这种关系，然后再使不等式变形，就可以得出三角形两边之差与第三边的关系.答案：设a 、b 、c 是任意一个三角形的三边的长，则a+b ＞c,b+c ＞a,c+a ＞b.由式子a+b>c 移项可得，a>c-b,b>c-a.类似地，由式子b+c>a 及a+c>b 移项可得，c>a-b,b>a-c 及c>b-a,a>b-c.这就是说，三角形中任意两边之和大于第三边.学法一得 这是一个应用不等式的性质由一个结论得出另一个与原有结论等价的新结论的问题.应该注意的是：“三角形中任意两边之和大于第三边”这个结论所对应的是三个形式一样的不等式，而不是一个不等式.由这些不等式又可以推出三个形式一样的不等式，后三个不等式合起来就是结论“三角形中任意两边之差小于第三边”.例7若关于x 的方程(k+2)x-2=1-k(4-x)有正数解，求k 的取值范围．解析：先求出方程的解，即用含有k 的代数式把x 表示出来，再由x>0得到一个关于k 的不等式，解这个不等式即可．答案：解方程得：kx+2x-2=1-4k+kx ，所以x=243k -， 由x>0得243k ->0，解得k<43, 即当k<43时，原方程有正数解． 巧妙变式 若关于x 的方程(k+2)x-2=1-k(4-x)有负数解，求k 的取值范围． 简析：变式后的题目与原题解题思路完全相同，只是不等式243k ->0变为243k -<0，k 的取值范围为：k>43. 例8已知不等式3x-a≤0的解集是x≤2，求a 的取值范围.解析：由不等式的性质，得出不等式3x-a≤0的解集（解集是含a 的式子），再进一步确定a 的取值范围.答案：由不等式性质1，得3x≤a ，由不等式性质2，得x≤3a ， 又因为不等式3x-a≤0的解集是x≤2， 所以，3a ≤2， 由不等式性质2，得a≤6.问题·探究思想方法探究问题1 制作某产品有两种用料方案，方案一：用4张A 型钢板，8张B 型钢板；方案二：用三张A 型钢板，9张B 型钢板.A 型钢板比B 型钢板的面积大.从省料的角度看，应选用哪种方案？探究过程：设A 型钢板和B 型钢板的面积分别为x 和y ，于是，两种方案用料面积分别为4x+8y 和3x+9y.现在需要比较上面两个数量的大小.两个数量的大小可以通过它们的差来判断.如果两个数a 和b 比较大小，那么： 当a>b 时，一定有a-b>0；当a=b 时，一定有a-b=0；当a<b 时，一定有a-b<0.因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断要比较的对象的大小.探究结论：根据两数之差是正数、负数或0，判断两数的大小关系的方法叫做比差法.利用比差法，我们就可以解答上面的问题了.（4x+8y ）-（3x+9y ）=4x+8y-3x-9y=x-y.由x>y 可知，x-y>0.所以，（4x+8y ）-（3x+9y ）>0.即应该选用方案二.误区陷阱探究问题2 装有石头的小船浮在一个能容纳它的水槽里，水位离水槽上部还有一定的距离，在水槽的边上画出水位线的标记；如果将石头全抛入水槽，水槽的水位会怎样变化呢？探究过程：对于“乌鸦喝水”的故事想必大家都很熟悉.你可能从中受到启发，认为由于石头沉入水槽底部，水槽的水位会上升.早在古希腊，著名的科学家阿基米德就发现了浮力定律.由浮力定律可得，浮在水中的物体排开的水的质量等于物体的质量.设小船的质量为a ，石头的质量为b ，当石头装在船里浮在水槽中时，排开的水的质量等于a+b ，因为水的密度是1，所以排开水体积V 1的数值为（a+b ）÷1=a+b.当石头从船里抛入水槽时，浮体只有小船，它排开的水的体积等于a ；沉入水底的石头排开水的体积等于石头的体积ρb（ρ是石头的密度），因此排开的水的总体积V 2的数值为a+ρb.因为石头的密度ρ>1，所以b>ρb,进而a+b>a+ρb,于是V 1>V 2.这就说明，未抛石头时比抛石头时排开的水的体积大.探究结论：由此可知，未抛石头时比抛石头时水槽的水位高.。