常用逻辑用语单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x＞0⇒|x|＞0充分，而|x|＞0⇒x＞0或x＜0，不必要．答案：A2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1解析：－1＜x＜1的否定是“x≥1，或x≤－1”；“x2＜1”的否定是“x2≥1”．答案：D3．下列命题中是全称命题的是()A．圆的内接四边形B. 3 ＞ 2C. 3 ＜ 2D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形解析：由全称命题的定义可知：“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，是全称命题．答案：A4．若α，β∈R，则“α＝β”是“tan α＝tanβ”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当α＝β＝π2时，tanα，tan β不存在；又α＝π4，β＝5π4时，tanα＝tan β，所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的既不充分又不必要条件．答案：D5．命题“∀x＞0，都有x2－x≤0”的否定是()A．∃x0＞0，使得x20－x0≤0 B．∃x0＞0，使得x20－x0＞0C．∀x＞0，都有x2－x＞0 D．∀x≤0，都有x2－x＞0解析：由含有一个量词的命题的否定应为B.答案：B6．命题p：a2＋b2＜0(a，b∈R)；命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是()A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“⌝p”为假D．“⌝q”为真解析：显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“⌝p”为真，“⌝q”为假．答案：A7．如果命题“p或q”与命题“⌝p”都是真命题，那么() A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定为真命题D．命题p与命题q真假相同解析：因为⌝p为真，所以p为假；又因为p或q为真，所以q 必为真．答案：B8．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则⌝q是⌝p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题易知p：x>1或x<－3；q：2<x<3，所以⌝q：x≥3或x≤2，⌝p：－3≤x≤1，所以⌝q是⌝p的必要不充分条件，故选B.答案：B9．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则⌝p 是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：解题的突破口为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．故∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定是∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.答案：C10．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．以上说法均不正确解析：p：x2＋2ax－a>0的解集为R⇔Δ＝4a2＋4a<0⇔－1<a<0.所以p是q的充分必要条件．答案：C11．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B12．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋4<0的否定⌝p：_______________．解析：特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M，⌝p(x)．”故填∀x∈R，x2＋2x＋4≥0.答案：∀x∈R，x2＋2x＋4≥014．设p：x＞2或x＜23；q：x＞2或x＜－1，则⌝p是⌝q的________条件．解析：⌝p：23≤x≤2.⌝q：－1≤x≤2.⌝p⇒⌝q，但⌝q⌝p.所以⌝p是⌝q的充分不必要条件．答案：充分不必要15．“函数y＝x2＋bc＋c，在x∈[0，＋∞)上是单调函数”的充要条件为________．解析：对称轴为x＝－b 2，要使y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上单调，只需满足－b2≤0，即b≥0.答案：b≥016．给出下列命题：①命题“若b2－4ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题在“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a＞b＞0，则3a＞3b＞0”的逆否命题；④若“m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＞0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：逆命题：已知a ，b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．否命题：已知a ，b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0.逆否命题：已知a ，b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.解：(1) ⌝p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则Δ＝1＋4m <0，则m <－14，所以当m ＝－1时，⌝p 为真．(2) ⌝q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1>0. 因为x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0， 所以⌝q 为真．19．(本小题满分12分)若x ∈[－2，2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2，2]时， f (x )min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上单调递增， f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73.又因为a ＞4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2.又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7.又因为a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．20．(本小题满分12分)下列三个不等式：①|x －1|＋|x ＋4|＜a ；②(a －3)x 2＋(a －2)x －1＞0；③a ＞x 2＋1x 2. 若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a 的取值范围． 解：对于①，因为|x －1|＋|x ＋4|≥|(x －1)－(x ＋4)|＝5，所以，不等式|x －1|＋|x ＋4|＜a 的解集为空集时，实数a 的取值范围是a ≤5.对于②，当a ＝3时，不等式的解集{x |x ＞1}，不是空集；当a ≠3时，要使不等式(a －3)x 2＋(a －2)x －1＞0的解集为空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，（a －2）2＋4（a －3）≤0，解得－22≤a ≤2 2. 对于③，因为x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2， 当且仅当x 2＝1，即x ＝±1时取等号．所以，不等式a ＞x 2＋1x 2的解集为空集时，a ≤2. 因此，当三个不等式的解集都为空集时，－22≤a ≤2.所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是{a |a ＜－22或a ＞2}．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1（x ＜－2），x ＋3⎝⎛⎭⎪⎫－2≤x ≤12(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小值； (2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解：(1)作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1，故－3≤m ≤1；对于命题q ，m 2－1＞1，故m ＞2或m ＜－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，则得－2≤m ≤1. ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1或m ＜－3，m ＜－2或m ＞2，解得m ＜－3或m ＞ 2. 故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知a ＞0，且a ≠1，命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p 和q 有且只有一个真命题，求a 的取值范围．当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞) 内单调递增．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递增．曲线y ＝x 2＋(2a－3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52. (1)若p 真，q 假，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴至多有一个交点，则0＜a ＜1，且12≤a ＜1或1＜a ≤52，即12≤a ＜1. (2)若p 假，q 真，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递增，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，则a ＞1，且a ＜12或a ＞52，所以a ＞52. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.。