第四章 谐振子
4.2 一维谐振子
量子力学处理。其哈密顿算符是
d d 2 2 2 H T V V 2 v m x 2 2 2m dx 2m dx 2 d 2 4 2v 2 m 2 2 2 d 2 2 2 ( 2 x ) ( 2 a x ) 2 2m dx 2m dx 2vm a (4.33)
(4.2)
4.1 微分方程的幂级数解
y D sin(cx e)
(4.3)
两和的正弦公式
sin(x y) sin x cos y cos x sin y
用幂级数法解（4.1），假设解可在 x 0附近用台劳 级数展开，即
y( x) an x n a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
a1 的值无限制，它们是任意的常数，可令
(4.17)
代入到（4.16），求得系数 c2 A c4 A c6 A a0 A, a2 , a4 , a6 , 1 2 4 3 2 1 6! 2k c A k a2 k (1) , k 0,1,2,3, (4.18) (2k )!
n 0
(4.41)
和（4.13）式一样，使
x
n
的系数为零，有
cn 2
(a 2an 2m E 2 ) cn (n 1)(n 2)
(4.42)
这是所要求的两项和的递推关系式。
4.2 一维谐振子
（4.42）与（4.16）的形式一样，因此，知 cn 可计 算 cn 2；所以有两个任意的常数：c 0 和 c1 。若 令 c1 0 ，则将有只含 x 的偶次幂的幂级数乘以指数因 子的解：
(4.15)
c2 an 2 an (4.16) (n 1)(n 2) 像（4.16）这样的等式叫做递推关系式。运用该式，若知 a0的值，可求 a2 , a4 , a6 , 。若知 a1 ，可求 a3 , a5 , a7 , 。
4.1 微分方程的幂级数
因为对一 a0 和
a0 A, a1 Bc
4.1 微分方程的幂级数
j b x j 0 j 0
(4.14)
在（4.14）中假设 x 0，则表明 b0 0。取（4.14） 对 x的一阶导数，然后使x 0 ，则表明b1 0。取 n阶导 数，并使 x 0，则 bn 0 。于是由（4.13），有
(n 2)(n 1)an 2 c 2 an 0
y A cos(cx) B sin(cx)
(4.21)
4.2 一维谐振子
经典力学的处理。有一质点为 此力正比于离开原点的位移： 的粒子被一力引向原点， m
Fx kx
Fx 是作用于粒子的
(4.22)
x 分量。
(4.23)
由牛顿第二定律给出，
d2x kx m 2 dt
t
是时间。
4.2 一维谐振子
4.2 一维谐振子
为解（4.34）我们需要一个代换，即
e
ax 2 2
f ( x)
(Hale Waihona Puke .35) ax 2 2 ' e
ax 2 2
(ax) f ( x) e
f ' ( x) (4.36)
' ' e
ax 2 2
[ f ' ' ( x) 2axf ' ( x) af ( x) a 2 x 2 f ( x)]
eax
2
2
f ( x) e ax
2
2
n 0, 2, 4
n ax c x e n
2
2
l 0
2l c x 2l
(4.43)
若 c0 0,则将有只含 子的解 ，
x
的奇次幂的幂级数乘以指数因
e
ax 2 2
n 1, 3,
c x
n
n
e
ax 2 2
2
2
2
2
(4.32)
4.2 一维谐振子
在乘以 2m 后，薛定谔方程 H E 为，
2
H E H E 0 2 d 2 ( 2 a 2 x 2 ) E 0 2m dx 2m 2 d 2 2m 2 2 2 ( )( 2 a x ) 2 E 0 2m dx d 2 2 (2m E 2 a 2 x 2 ) 0 (4.34) dx
l 0
c
2l 1
x
2l 1
(4.44)
4.2 一维谐振子
由薛定谔方程的通解，
y c1 y1 c2 y2
可得，
(2.5)
Aeax
2
2
l 0
2l 1 ax c x Be 2l 1
2
2
2l c x 2l l 0
(4.45)
现在看是否有什么波函数的边界条件导致解的任何限制。 为了看这两个无穷级数在 大时的表现，我们需要检查每个 级数的相继系数之比。
将（4.35）和（4.36）代入（4.34）中，得
f ' ' ( x) 2axf ' ( x) (2mE a) f ( x) 0
2
(4.37)
4.2 一维谐振子
现在对 f ( x )试以级数解，
f ( x ) cn x n
n 0
(4.38) (4.39)
f ' ( x) ncn x n 1 ncn x n 1
x
4.2 一维谐振子
在第二个级数中， 和 x 令（4.42）式中的 n 2l ，
2l 2
x
2l
的系数之比，我们可
cn 2
(a 2an 2m E 2 ) cn (n 1)(n 2) a 4al 2m E (2l 1)(2l 2)
2
(4.42)
第四章 谐振子
4.1 微分方程的幂级数解
y' ' ( x) c 2 y( x) 0
d 2 2m E 0 dx2 2
2
(4.1)
(2.10)
辅助方程
s c 0 s ic
2
当辅助方程的根是纯虚数时，得到的三角函数形式的解：
y A cos(cx) B sin(cx)
n ( n 2 )( n 1 ) c x 2 a nc x ( 2 mE a ) c x n n 0 n2 n n 2 n 0 n 0 n 0
[(n 2)(n 1)cn 2 2ancn (2mE 2 a)cn ]x n 0
4.2 一维谐振子
现在考虑对于函数
e
ax 2
的幂级数展开。运用
n z ez 1 z z2 n 0 n!
(4.48) (4.49)
e
ax 2
l 2l l 1 2 l 2 a x a x 2 1 ax l! (l 1)!
将（4.4）和（4.6）代入（4.1），得，
n(n 1)a
n2
n
x
n2
c an x 0
2 n n 0
(4.7)
合并（4.7）中的两个和，
j j j b x c x ( b c ) x j j j j j 0 j 0 j 0
(4.8)
(4.3)
4.2 一维谐振子
于是（4.23）的解为，
k 1 x A sin[( ) 2 t b] m k k k 2 w w , w 2v 2v m m m x A sin(2vt b) (4.24)
振动频率
v 是， 1 1 k 2 v ( ) 2 m
( 4.28)
4.2 一维谐振子
选
c 0 ，于是势能
v为
(4.29 )
1 2 V kx 2 2 v 2 mx 2 2 动能 T 是
1 dx 2 T m( ) 2 dt
(4.30)
4.2 一维谐振子
总能是，
1 dx 2 E T V m( ) 2 2v 2 m x2 2 dt dx d [ A sin(2vt b) x A sin(2vt b) 2 Av cos(2vt b) dt dt dx 2 ( ) 4 A2 2v 2 cos2 (2vt b) dt 1 E T V m 4 A2 2v 2 cos2 (2vt b) 2 2v 2 m A2 sin 2 (2vt b) 2 2 2v 2 m A2 [cos2 (2vt b) sin 2 (2vt b)] 2 2v 2 m A2 1 2 E T V kA 2 2v 2 m A2 2 (4.31)
n 0
n 0 , 2 , 4
an x n
n 1, 3, 5
n a x n
2k 2k 2 k 1 2 k 1 c x c x k k y A (1) B (1) (2k )! (2k 1)! k 0 k 0
(4.20)
（4.20）中的两个级数是对于 cos(cx)与 sin(cx)的台劳级 数；因而与（4.2）一致，有
(4.25)
k 是力常数。
4.2 一维谐振子
三维情况下，势能
v 与力的分量有关，
(4.26)
V V V Fx , Fy , Fz x y z
（4.26）式也是势能的定义。在一维中，有
