上海市普陀区2019届高三二模数学试卷
2019.4
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =--≤，则A B =I
2. 双曲线22
:
1169
x y C -=的顶点到其渐近线的距离为 3. 函数12
2log (1)y x x =+-的定义域为 4. 设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数，02θπ≤≤）的中心，且其方向向量
(1,1)d =u r
，则直线l 的方程为
5. 若复数1i z =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，则|i |c d +=
6. 若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为
7. 设x 、y 均为非负实数，且满足5
26
x y x y +≤⎧⎨
+≤⎩，则68x y +的最大值为
8. 甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为
9. 设实数a 、b 、c 满足1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =，lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，则
a b c ++=
10. 在四棱锥P ABCD -中，设向量(4,2,3)AB =-u u u r ，(4,1,0)AD =-u u u r ，(6,2,8)AP =--u u u r
，
则顶点P 到底面ABCD 的距离为
11. 《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖 臑，如图，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，
AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为
（结果用反三角函数值表示）
12. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2
()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2
(2)(2)4f x f x x +->+的解集为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为26，且经过点(3,2)，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. 22193y x +=
B. 2213612x y +=
C. 2213612y x +=
D. 22
193
x y += 14. 在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“2{,}33
C ππ
∈”是
“222a b c ab +=+”成立的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件 15. 某公司对4月份员工的奖金情况统计如下： 奖金（单位：元） 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500 员工（单位：人） 1
2
4
6
12
8
20
5
2
根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：① 中位数为800元；② 平均数为 1373元；③ 众数为700元，其中判断正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 设函数()sin()6
f x x π
=-
，若对于任意5[,]62
ππ
α∈-
-，在区间[0,]m 上总存在唯一确 定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）
A. 6π
B. 2
π
C. 76π
D. π
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线4PB =，底面半径OA 与OB 互相垂直，且2OB =. （1）求圆锥的表面积；
（2）求二面角P AB O --的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. 设函数2()sin()cos 3
4
f x x x x π
=+
⋅+
. （1）当x ∈R 时，求函数()f x 的最小正周期；
（2）设4
4
x π
π
-≤≤
，求函数()f x 的值域及零点.
19. 某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （0x ≥） （单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2
x
（单位：万元），并与燃料供热互 补工作，从此，公司每年的燃料费为20100
k
x +（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳
能板的费用与15年的燃料费之和.
（1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式； （2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.
20. 设数列{}n a 满足：12a =，121n n a t a ++=⋅（其中t 为非零实常数）. （1）设2t =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求出通项公式； （2）设3t =，记1||n n n b a a +=-，求使得不等式12339
40
k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整 数k ；
（3）若2t ≠，对于任意的正整数n ，均有1n n a a +<，当1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列时，求t 、p 、q 的值.
21. 设曲线2:2y px Γ=（0p >），D 是直线:2l x p =-上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点. （1）设(4,2)D -，求△DAB 的面积；
（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：1202y y y +=；
（3）设点M 满足OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r
，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N
在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. {1,2}
2.
12
5
3. [0,1)
4. y x =
5. 6. 3π 7. 40 8. 0.3
9. 12 10. 2 11. 12. (,4)(0,)-∞-+∞U
二. 选择题
13. D 14. B 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）12π；（2）
18.（1）1sin(2)23y x π=
-，T π=；
（2）值域11
[,]24
-，零点6x π= 19.（1）2400k =，180052
x
y x =++；
（2）55x =时，min 57.5y = 20.（1）13
22
n a n =+；（2）10；（3）略
21.（1）（2）略；（3）(2,0)p -。