普陀区2019学年第二学期高三数学质量调研评分标准
17.（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =， …………………………………… 3分 当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()31()x
f x f x -=-=
， 故()31x
g x =-. …………………………………… 6分 （2
）函数()g x 在区间[0,2]上的反函数为()1g x -，
则()
1
23
12g --=，即1(2)1g -=， ……………………………………4分
即2log 15a <，则2log 1
5
01
a a ⎧
<⎪⎨⎪<<⎩ 或 2log 1
51a a ⎧<⎪⎨
⎪>⎩
，即205a <<或1a > 则实数a 的取值范围为2
(0,)
(1,)5+∞. ………………………………8分 18.（1）2()2sin ())1263
x f x x ωππω=++- 1cos())133
x x ππ
ωω=-++-
2sin()6
x π
ω=+， ……………………………………4分 因为函数()f x 的最大值为()2
f π，所以sin()126
π
π
ω⋅+=， 即2,Z 262k k πππ
ωπ⋅
+
=+
∈，即2
43
k ω=+，
又01ω<<，则2
3
ω=， ……………………………………6分
则函数()f x 的最小正周期为23π
πω
=.……………………………………8分
（2）因为函数()f x 在区间(,2)ππ内不存在零点， 所以(,2)(,),Z 66
k k k π
π
ωπωππππ+
+⊆+∈， 即626k k πωπππωπππ
⎧
+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩， ……………………………………3分
则15
,Z 6212k k k ω-
≤≤+∈， 因为15,Z 6212k k k -≤+∈，所以7
,Z 6
k k ≤∈，即0,1k =，………5分
则所求的ω的取值范围为5511
(0,][,]12612
. …………………6分
19. （1）连接BO ,依题意FO 为立柱，即FO ABCD ⊥平面,
则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角， (2)
分 由俯视图可知，GH BC
⊥，则BO ==
在Rt FOB ∆
中，tan FO FOB BO ∠=
==
，…………………………4分 即arctan
20FBO ∠=.
（或，
则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan 20
. ………………………6分 备注：用空间向量求线面角的，请相应评分.
（2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，………………2分
则直三棱柱的体积11
(2)2FGH V S EF GH FO AD AG ∆=⋅=⋅⋅- 13
104030022=⨯⨯⨯=（立方米），……………4分 两个四棱锥的体积222
233
F GABH GABH V V S FO A
G AB FO -==⋅=⋅⋅
23
5105032
=⨯⨯⨯=（立方米）， ………6分 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=(立方米). ……………………8分
20. （1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =，
则2PQF ∆的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+, ………………2分 要使得2PQF ∆的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，
由椭圆的性质可知，当弦PQ 与Γ的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF ∆周长的最小值为10. ………………………………4分 （2）依题意，设平行弦所在的直线方程为y x m =-+，与Γ的交点坐标为11(,)x y 、22(,)x y ， 平行弦中点的坐标为00(,)x y ，
联立22
194
x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
，化简整理得22
13189360x mx m -+-=， ………………2分 当2
2
2
(18)413(936)8(13)0m m m ∆=--⨯⋅-=-->，
即m << ………………………………3分 则1209213x x x m +=
=，121204
2213
y y x x y m m ++==-+=，即00490x y -=， 故存在满足条件的直线l ，其方程为490x y -=. ………………………………6分 （3）设直线l 的方程为y kx =，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ,（不妨12x x >），
由22
194x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
化简得22
(94)36k x +=
，即1x =，21x x =-
=， 依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，
由22
1942
x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪+=⎩
解得3610,1313N N
x y ==-，
则13MN =. 又l 与线段MN 有交点，则5
[,)18
k ∈-+∞， ………………………………2分
点P ，Q 到直线MN
的距离分别为1d =
2d =
，
则(
)121122MPNQ S MN d d =
⋅⋅+=+四边形
12=
121621313=⋅=
4分 又108[,1313
S ∈
，即108216131313
≤≤， 化简整理得，2
2
5808172160
k k k k ⎧-≤⎪⎨-+≥⎪⎩，又5,18k ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭，解得805k ≤≤， 则所求的直线l 的斜率k 的取值范围为8[0,]5
. ………………………………6分
21. （1）经计算（或由图像）知： 167a a a <<<，此时5m ≥；
256a a a <<<
，此时3m ≥； ……………………………………2分
当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<
，此时1m ≥；
综上可知，5m ≥，即对任意的*
N k ∈，k a 都具有性质()P m 时m 的最小值为5.
………………………………………………………4分
（2）由已知可得，()
122
n n n S n d -=-+
， 若对任意的*N k ∈，数列{}n S 中的 k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的*N k ∈恒成立， …………………2分
即()()()()177122722
k k k k k d k d
-++--+
<-++ 整理得：2
3
d k >
+， ……………………………………4分 因为1k ≥，所以1
2
d >. ……………………………………6分
备注：若直接用必要条件求出d 的范围，而未进行完善条件的证明或说明，得2分.
（3）对于*
299,N t t ≤≤∈， 因为121,,
t a a a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<
<<
而当2n ≥()
*n N ∈时，存在(
)*
11i i n i N ≤≤-∈，满足2n
i a
a =，
所以12,,
t a a a 依次为：232,2,2,
2t ， ……………………………………2分
由已知t a 不具有性质()1P ，故+1t a 的可取值为2
3
2,2,2t
又因为12100,,
t t a a a ++都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<
<，
欲使此数列的前100项和最大，12100,,t t a a a ++依次为：1992,2,2t t +，
欲使此数列的前100项和最小，12100,,t t a a a ++依次为：231012,2,
2t -， …………4分
下面分别计算前100项和：
()12+++t a a a +()12100++
+t t a a a ++=()232+2+2++2t +()1992+2+
+2t t +
=100222t +-
当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为99100222+-=99
322⨯-； ………6分
()12+++t a a a +()12100++
+t t a a a ++=()232+2+2++2t +()231012+2++2t -
1012=2266262t t ⎛⎫+-≥= ⎪⎝⎭
当且仅当101222t
t =时，即1012t =时等号成立，但*101
2
t N =∉
这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为(
)5051
50
222
662
6+-=⋅-
………………………………………………………8分。