湖北民族学院理学院2014年春季学期数学与应用数学专业复变函数实验课（一）计算部分上课教师：汪海玲Matlab中复变函数命令集定义符号变量Syms虚单位z=Sqrt(-1)复数表示z=x+y*i指数表示z=r*exp(i*a)求实部Real(z)求虚部Imag(z)求共轭Conj(z)求模Abs(z)求幅角Angle(z)三角函数z=sin(z)z=cos(z)指数函数z=exp(z)对数函数z=log(z)幂函数z=z^a解方程expr=‘方程式’;Solve(expr)泰劳展开Taylor(e,z)求留数[r,p,k]=residue(p,q)傅立叶变换Fourier(e,z,w)逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z)拉普拉斯变换Laplace(e,w,t)逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x)一复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real返回复数x的实部(x)(ximag返回复数x的虚部)2．共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式conj返回复数x的共轭复数(x)3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs复数x的模)(xangle复数x的辐角)(x上机操作：课本例题1.2、例题1.4、课后习题（一）1.4．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
5．复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。
调用形式)sprt返回复数x的平方根值(x6．复数的幂运算x^，结果返回复数x的n次幂。
复数的幂运算的形式为n上机操作：课本例题1.87．复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x返回复数x的以e为底的指数值)log(x返回复数x的以e为底的对数值)上机操作：课本例题2.17、 2.188．复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表9．复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
(')solve equation上机操作：课本例题1.8比较6和9 所对应计算结果二复变函数的积分1 非闭合路径的积分非闭合路径的积分，用函数int求解，方法同微积分部分的积分。
例1 计算⎰-=iiz dzezππ321，⎰=0632izdzchzπ，⎰--=i z dzezz)1(3，⎰-+=i dzzzz12costan14（沿1到i的值线段）。
解：在Matlab编辑器中编辑M文件LX0908.m：z1=int('exp(2*z)','z',-pi*i,3*pi*i)syms zz2=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)z3=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)z4=int((1+tan(z))/cos(z)^2,z,1,i)运行结果为：z1 =z2 =-1/3*iz3 =-i*exp(-i)z4 =1/2*(2*i*cos(1)^2*sinh(1)*cosh(1)+cos(1)^2-2*cosh(1)^2*sin(1)*cos(1)-cosh(1)^2)/cosh(1)^2/cos(1)^2说明：在z1中定义表达式为符号；在z2、z3、z4中，先定义符号变量，再进行积分。
两种方法都可行，且结果一样。
上机操作：课后第三章习题（一）1题、6题2 沿闭合路径积分对沿闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可得积分值。
2.1 留数计算留数定义：设a 为f (z)的孤立奇点，C 为a 的充分小的邻域内一条包含a 点的闭路，积分⎰Cdzz f i )(21π称为f (z)在a 点的留数或残数，记作Res[f (z), a]。
在Matlab 中，可由函数residue 实现。
函数：residue %留数函数（部分分式展开） 格式：[R, P, K] = residue (B, A)说明：)()()()2()2()1()1()()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B z f +-++-+-==向量B 为f (z)的分子系数；（以s 降幂排列） 向量A 为f (z)的分母系数；（以s 降幂排列） 向量R 为留数；向量P 为极点；极点的数目n = length (A)-1=length (R) = length (P)。
向量K 为直接项，如果length (B)<length (A)，则K = [ ]，即直接项系数为为空；否则length (K) = length (B) - length (A) +1。
如果存在m 重极点，即有P (j) = P (j+1) = … = P (j+m-1)，则展开项包括以下形式mj P s m j R j P s j R j P s j R ))(()1())(()1()()(2--+++-++-注意：Matlab 函数只能解决有理分式的留数问题。
格式：[B, A] = residue (R, P, K)说明：R 、P 、K 含义同上。
当输入R 、P 、K 后，可得f (z)的分子、分母系数向量。
例2 求下列函数在奇点处的留数：（1） z z z 212-+ （2）14-z z解：在Matlab 命令窗口键入： >> [r1,p1,k1]=residue([1,1],[1,-2,0]) r1 = 1.5000 -0.5000p1 =2k1 =[ ]>> [r2,p2,k2]=residue([1 0],[1 0 0 0 -1])r2 =0.25000.2500-0.2500 + 0.0000i-0.2500 - 0.0000ip2 =-1.00001.00000.0000 + 1.0000i0.0000 - 1.0000ik2 =[ ]反之：>> [B,A]=residue([0.2500 0.2500 -0.2500 -0.2500],[-1 1 i -i],[])B =0 0 1 0A =1 0 0 0 -1上机操作：课后第五章习题（一）4题2.2 闭合路径积分留数定理：设函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点z1，z2，…，zn外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则∑⎰=⋅=nk k Cz z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π。
闭合路径积分利用留数定理来计算。
例3 计算积分⎰-Cdz z z14其中C 为正向圆周| z | = 2。
解：在Matlab 编辑器中建立M 文件LX0910.m ： B=[1 0]; A=[1 0 0 0 -1];[r,p,k]=residue(B,A) %求被积函数的留数 I=2*pi*sum(r) %利用留数定理计算积分值 运行结果为： r =0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000i p =-1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i k = [ ] I = 0上机操作：课后第三章习题（一）9题、课后第六章习题（一）3题三Taylor级数展开Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。
函数：taylor %Taylor级数展开格式：taylor (f) %返回f函数的5次幂多项式近似taylor (f, n) %返回n-1次幂多项式近似taylor (f, a) %返回a点附近的幂多项式近似taylor (f, x) %对f中的变量x展开；若不含x，则对变量x = findsym (f)展开。
例求下列函数在指定点的Taylor级数展开式。
（1）1/z2，z0 = -1；（2）tan (z)，z0 = pi/4；（3）sinz/z，z0 = 0解：在Matlab中实现为：>> syms z>> taylor(1/z^2,-1)ans =3+2*z+3*(z+1)^2+4*(z+1)^3+5*(z+1)^4+6*(z+1)^5>> taylor(tan(z),pi/4)ans =1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)^2+8/3*(z-1/4*pi)^3+10/3*(z-1/4*pi)^4+64/15*(z-1/4*pi) ^5>> taylor(sin(z)/z,10)ans =1-1/6*z^2+1/120*z^4-1/5040*z^6+1/362880*z^8从（3）的展开式可知彼知已z = 0是sinz/z的可去奇点。
注意：taylor展开运算实质上是符号运算，因此在不久的将来Matlab中执行此命令前应先定义符号变量syms z，否则Matlab将给出出错信息！上机操作：课本例题例4.6 4.7 例4.13。