第四章习题解答★【】如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为① (0,)(,)0y a y ϕϕ==；② (,0)0x ϕ=； ③ 0(,)x b U ϕ= 根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a a ππϕ∞==∑ 由条件③，有 01sinh()sin()n n n b n xU A a a ππ∞==∑两边同乘以sin()n xa π，并从0到a 对x 积分，得到002sin()d sinh()an U n x A x a n b a a ππ==⎰ 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故得到槽内的电位分布 01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x x y n n b a a aππϕππ==∑ 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。

上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。

解 应用叠加原理，设板间的电位为(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+其中，1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即10(,)x y U y b ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：22(,0)(,)0x x b ϕϕ==① 2(,)0()x y x ϕ=→∞②③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b db ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩； 根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为21(,)sin()en x bn n n yx y A b ππϕ∞-==∑；由条件③有 00100(0)sin()()n n U U y y d n y b A U U b y yd y b db π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑两边同乘以sin()n ybπ，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d bn dU U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d b ππ 故得到 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d n b bππππ∞-=+∑ 如题图所示的导体槽，底面保持电位0U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为a题图题 图(0,)(,)0y a y ϕϕ== ① (,)0()x y y ϕ→→∞ ② 0(,0)x U ϕ=③②，电位(,)x y ϕ的通解应取为根据条件①和1(,)sin()n n n y an x x y A ea ππϕ∞-==∑；由条件③，有 01sin()n n n x U A a π∞==∑sin()n xaπ，并从0到a 对x 积分，得到002sin()d an U n x A x a a π==⎰ 两边同乘以02(1cos )U n n ππ-=04,1,3,5,02,4,6,U n n n π⎧=⎪⎨⎪=⎩，；故得到01,3,5,41(,)sin()n y a n U n xx y e n aππϕπ-==∑★【】一长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为()sin()sin()x zy y b a cππρ=- 的电荷。

求体积内的电位ϕ。

解 在体积内，电位ϕ满足泊松方程22222201()sin()sin()x zy y b x y z a cϕϕϕππε∂∂∂++=--∂∂∂ （1） 长方体表面S 上，电位ϕ满足边界条件0S ϕ=。

由此设电位ϕ的通解为11101(,,)sin()sin()sin()mnp m n p m x n y p zx y z A a b cπππϕε∞∞∞====∑∑∑，代入泊松方程（1），可得 222111[()()()]mnp m n p m n p A a b cπππ∞∞∞===++⨯∑∑∑ sin()sin()sin()m x n y p z a b c πππ=()sin()sin()x z y y b a cππ-由此可得 0mnpA = (1m ≠或1)p ≠ ；222111[()()()]sin()n p n n yA a b c b ππππ∞=++=∑()y y b - （2）由式（2），得 2221102[()()()]()sin()d bn n n y A y y b y a b c b b ππππ++=-=⎰34()(cos 1)b n b n ππ-= 2381,3,5,()02,4,6,b n n n π⎧-=⎪⎨⎪=⎩； 故2532221,3,5,81(,,)sin()sin()sin()11[()()()]n b x n y zx y z n a b c n a b cπππϕπε∞==-++∑★【】如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z 轴平行的线电荷l q ，其位置为),0(d 。

求板间的电位函数。

解 由于在(0,)d 处有一与z 轴平行的线电荷l q ，以0x=为界将场空间分割为0x >和0x <两个区域，则这两个区域中的电位1(,)x y ϕ和2(,)x y ϕ都满足拉普拉斯方程。

而在0x =的分界面上，可利用δ函数将线电荷l q 表示成电荷面密度0()()l y q y y σδ=-。

电位的边界条件为11(,0)(,)0x x a ϕϕ== ，22(,0)(,)0x x a ϕϕ== ①1(,)0x y ϕ→()x →∞，2(,)0x y ϕ→()x →-∞② 12(0,)(0,)y y ϕϕ= ， 21()()lx q y d x xϕϕδε=∂∂-=--∂∂③题 图题图a由条件①和②，可设电位函数的通解为11(,)sin()n n n x an y x y A ea ππϕ∞=-=∑ (0)x >21(,)sin()n n n x a n y x y B e a ππϕ∞==∑ (0)x <由条件③，有1sin()n n n y A a π∞==∑1sin()nn n y B a π∞=∑ （1） 1sin()n n n n y A a a ππ∞=--∑1sin()n n n n yB a a ππ∞=∑ 0()l q y d δε=- （2）由式（1），可得 n n A B = （3）；将式（2）两边同乘以sin()m yaπ，并从0到a 对y 积分，有n n A B +002()sin()d a l q n yy d y n aπδπε=-=⎰02sin()l q n d n a ππε （4） 由式（3）和（4）解得sin()l n n q n dA B n aππε==故 1101(,)sin()sin()ln n x a q n d n y x y e n a a πππϕπε∞=-=∑ (0)x > 2101(,)sin()sin()l n n x q n d n yx y e n a aπππϕπε∞==∑ (0)x < 如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷l q 。

求槽内的电位函数。

解 由于在),(00y x 处有一与z 轴平行的线电荷l q ，以0x x =为界将场空间分割为00x x <<和0x x a <<两个区域，则这两个区域中的电位1(,)x y ϕ和2(,)x y ϕ都满足拉普拉斯方程。

而在0x x =的分界面上，可利用δ函数将线电荷l q 表示成电荷面密度0()()l y q y y σδ=-，电位的边界条件为① 1(0,)0y =ϕ，2(,)0a y ϕ=，② 11(,0)(,)0x x b =ϕϕ=，22(,0)(,)0x x b =ϕϕ=③ 1020(,)(,)x y x y ϕϕ=02100()()lx x q y y x xϕϕδε=∂∂-=--∂∂由条件①和②，可设电位函数的通解为11(,)sin()sinh()n n n y n xx y A b b ππϕ∞==∑ )0(0x x << 2(,)x y ϕ=1sin()sinh[()]n n n y n B a x b b ππ∞=-∑ )(0a x x << 由条件③，有0011sin()sinh()sin()sinh[()]n nn n n x n y n y n A B a x b b b b ππππ∞∞===-∑∑ （1） 01sin()cosh()n n n x n n y A b b b πππ∞=-∑01sin()cosh[()]n n n n y n B a x b b b πππ∞=-∑)(00y y q l -δε= （2） 由式（1），可得00sinh()sinh[()]0n n n x n A B a x b b ππ--= （3）将式（2）两边同乘以sin()m ybπ，并从0到b 对y 积分，有)](cosh[)cosh(00x a bn B b x n A n n -π+π0002()sin()d b l q n y y y y n b πδπε=-=⎰002sin()l q n y n b ππε （4）题图由式（3）和（4）解得00021sinh[()]sin()sinh()l n q n y n A a x n a n b bππππε=-00021sinh()sin()sinh()l n q n x n y B n a b n b b ππππε=故 101021(,)sinh[()]sinh()ln q n x y a x n n a b b πϕπεπ∞==-∑0sin()sinh()sin()n y n x n yb b b πππ⋅，)0(0x x << 021021(,)sinh()sinh()l n q n x x y n n a b b πϕπεπ∞==∑0sin()sinh[()]sin()n y n n ya xb b b πππ⋅-，)(0a x x << 若以0y y =为界将场空间分割为00y y <<和0y y b <<两个区域，则可类似地得到101021(,)sinh[()]sinh()ln q n x y b y n n b a a πϕπεπ∞==-∑0sin()sinh()sin()n x n y n xa a a πππ⋅ 0(0)y y << 021021(,)sinh()sinh()l n q n y x y n nb a a πϕπεπ∞==∑0sin()sinh[()]sin()n x n n xb y a a aπππ⋅- 0()y y b << * 如题图所示，在均匀电场00x E E e =中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a 。