高三文科立体几何--空间角专题复习练习题
一、基础知识
1．定义：
（①斜线和平面所成的角 ②垂线与平面所成的角 ③αα//l l 或⊂ ） 所以直线与平面所成角范围是 。

2．斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。

34．分别求斜线上一点A 到平面的距离h ，及斜线段的长AO ,则AO
h
=
αsin , 其中α为线面角
5．定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角
6．平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .
注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。

在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。

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练习题：
1．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为
A.3
B. 5
C. 5
D. 5
2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
13
B ．
3
C ．
3
D ．
23
3．一个正方体的展开图如图所示，,,B C D 为原正方体的顶点，A 为原正方体 一条棱的中点。

在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值为（ ） A
α
∙
A
B
∙β
4．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面， 点D 是侧面11BB C C
的中心，则AD 与平面
11BB C C 所成角的大小是 ( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90 .
5．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1
CD 所形成角的余弦值为（ ） A ．
10
B ．15
C ．10
D ．35
6．已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线
AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 A
．
4 B
．4 C ．4 D ．3
4
7．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为 。

8．如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，
AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .
9．如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =＝１,E 是PC 的中点． (1)证明:平面BDE ⊥平面PBC ； (2)求二面角E BD C --的余弦值.
10。

如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG .且AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1. (1)求证：BF ∥平面ACGD ； (2)求二面角D ­CG ­
F 的余弦值
11．如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=，AC
BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三
棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，DM =. （1）求证：//OM 平面ABD ； （2）求证：平面DOM ⊥平面ABC ；（3）求二面角D AB O --的余弦值.
12．已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥
DC,⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD,且PA=AD=DC=2
1
AB=1,M 是PB 的中点.
(Ⅰ)证明:面PAD ⊥面PCD; (Ⅱ)求AC 与PB 所成角的余弦值; (Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值.
13．在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD//EF ，EF//BC ．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G 为BC 的中点。

(1)求证：AB//平面DEG ； (2)求证：BD ⊥EG ； (3)求二面角G —DF —E 的正弦值。

14．图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱
⊥PD 底面A B C D
，DC PD =，E 是PC 的中点作PB EF ⊥交PB 于点F .
（1）证明://PA 平面EDB .（2）证明:⊥PB 平面EFD .（3）求二面角D PB C --的大小.
Q
P
D C B
A
15．如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面1
,,2
ABCD PD QA QA AB PD ==. (1)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ;(2)求二面角Q CP D --的余弦值.
16．如图,在四棱锥A B CD S -中,底面A B CD 是正方形,⊥SA 底面
A B CD
,AB SA =,点M 是SD 的中点,SC AN ⊥且交SC 于点N .(1) 求证:平面⊥SAC 平面AMN ; (2)求二面角M AC D --的余弦值.
17．已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,
1
//,,12AB CD AD AB AD AB CD ⊥===,PD ABCD ⊥面，
PD =E 是PC 的中点 （1）证明：//BE PAD 面；（2）求二面角E BD C --的大小.
18．已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是
,AD PC 的中点.
(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面；(Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)若PB AD =，求二面角F BE C --的大小.
19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接
AP 交棱CC 1于D ． （Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值。

20．如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为3点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，
且A E =,BF =. (I) 求证：1C F C E ⊥； (II) 求二面角1E C F C --的大小。

21．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点. （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面 BDE ⊥平面SAC ；
（Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时， 试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由.
22.如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E
是
PD 的中点. （1）求证：//PB 平面AEC ；（2）求证：AC PB ⊥；（3）求二面角E AC B --的大小.
23．如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1; (Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.
24．如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD ⊥面PAC ; (Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值;。