课题：空间的角
教学目标：掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定
理，并能
熟练解决有关问题,
进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 教学重点：直线与平面所成的角，二面角的求解. （一） 主要知识及主要方法：
1.三垂线定理(课本30P )：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
2.三垂线的逆定理(课本31P )：在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
3. 空间角的计算步骤 一作、二证、三算.
4.异面直线所成角：()1范围：(]0,90︒︒；()2计算方法:
①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,
则两异面直线所成的角α=arccos
a b a b
；③补体法；
④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.
5.直线与平面所成的角：①定义：
（课本29P ）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：
()1直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质； ()2平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对
边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面()3通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ，计算这点
与斜足之间的线段长l ，则sin d l
θ=
. ()4应用结论：如右图所示，PO α⊥，O 为垂足，A 为斜足， AB
α，AP 与平面α所成的角为1θ，2BAO θ∠=， PAB θ∠=，则12cos cos cos θθθ=.
()5向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α
的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θarcsin
l n l n
=.
6.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两
条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：()1定义法；()2三垂线定理及其逆定理法；()3垂面法；()4射影面积法：cos S S θ=
射影多边形原多边形
，此方法常用于无棱二面角大小的计算；
无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法()1、()2计算大小；()5向量法：法一、在α内
a l ⊥，在β内
b l ⊥l β-- 的平面角αarccos
a b a b
=；其方向如右图，则二面角l αβ--的平面角
α=arccos
a b a b
π-（同等异补）
法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--外侧（同等异补），则二面角l αβ--α12
12arccos
||||
n n n n =
（二）典例分析： 问题1．（07全国Ⅰ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =︒∠，
2AB =，BC =SA SB ==
()1证明：SA BC ⊥；
S
B
C
D
A
α A
P
O a
a b
n
αβ
a b
αβ
a b
1n
2n
α
P O
B
A
1θ
2θ θ
()2求直线SD与平面SAB
所成角的大小．
（本小题要求用多种方法解答,包括向量法）.
问题2．（07届高三湖北、荆州、宜昌4月模拟）
边长为1的正方体1111
ABCD A B C D
-中，P是棱
1
CC
上任一点，CP m
=（01
m
<<）.
()1若1
2
m=时，求证：面
1
BPD⊥面
11
BDD B；
()2试确定m值，使直线AP与平面11
BDD B所成的角
的正切值为
问题3．（07四川）如图，PCBM是直角梯形，90
PCB
∠=︒，PM∥BC，
1
PM=，2
BC=，又1
AC=，120
ACB
∠=︒，
AB PC
⊥，直线AM与直线PC所成的角为60︒.
()1求证：平面PAC⊥平面ABC；
()2求二面角B
AC
M-
-的大小;
()3求三棱锥P MAC
-的体积.
(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.
A
B
D
C
1
A
1
B
1
C
1
D
P
S
B
C
D A
S
B
C
D A
A
B
C
M
P
A
B
C
M
P
问题4．（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，
AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．4PA =，2AD =
，AB =6BC =
()1求证：BD ⊥平面PAC （此小题这里略去不做）；()2求二面角A PC D --的大小． (要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.
（三）课后作业：
1.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1CC ，AD 的
中点.那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于
2.(05浙江文)在三棱锥P ABC -中，1
,2
AB BC AB BC PA ⊥==
， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC .
()1求证：OD ∥平面PAB ；
()2求直线PA 与平面PBC 所成角的大小
3.如图，ABC △的边长为2，AD ，1BB ，1CC
都垂直于平面ABC ，且112BB CC ==，
1AD =，点E 为1DB 的中点，求直线
1C E 与平面ABC 所成的角.
（四）走向高考： 4.（07浙江）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，
且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．
()1求证：CM EM ⊥；
()2求CM 与平面CDE 所成的角．
P
C B
A D E
P
C B
A
D E
E
D
C
M
A
B
O
A
B
C
D 1A
1B
1C 1D
E F C
A B
1A
1B
1C
D
E
F A
P
C
B
D
O
E F
5.(07北京)如图，在Rt AOB
△中，
π
6
OAB
∠=，斜边4
AB=．
Rt AOC
△可以通过Rt AOB
△以直线AO为轴旋转得到，
且二面角B AO C
--是直二面角．动点D的斜边AB上．()1求证：平面COD⊥平面AOB；
()2当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；()3求CD与平面AOB所成角的最大值．
v
6.（07福建）如图，正三棱柱
111
ABC A B C
-的所有棱长都为2，D为
1
CC中点．
()1求证：1AB⊥平面1A BD（此小题这里略去不做）；
()2求二面角1
A A D B
--的大小；
()3求点C到平面1A BD的距离．
O
C A
D
B
A
B
C
D
1
A
1
C
1
B。