A
(2)范围：[0，π ]
B
3.二面角的平面角的作法： (1)定义法 (2)作棱的垂面法 (3)三垂线定理法
α
α
α
lO
β
l β
l β
A
4.射影面积公式： 如图所示， AD平面
M，设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，
B
由 cos =AD/AH可得，ABC与它在过其底 边BC的平面M上的射影DBC以及两者所 M
空间角
江苏省南菁高级中学
一、异面直线所成的角Fra bibliotek1、定义 2、范围（0°，90°］ 3、求法
例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 A1
cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所
D1 O1
C1 B1
解： 如图，连B1成D的1与角A。1C1 交于O1，
M
取BB1的中点M，连O1M，则
A
O
B
C
例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰
A’
直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60º B’
C’
角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。
解： ACAB，ACBC’， AC平面
x
ABC’，于是平面ABC’平面ABC，作C’O 平面ABC，则点O在BA延长线上,
O
A
x
3
C’BO就是BC’ 与底面所成的角，连 OC，
B
C
C’CO是侧棱与底面所成的角为60º， 在 OBC’中 BC’=2 6(已知）
令C’O=x，则 CO = x , RtAOC中AO = CO2 AC2 = x2 4
3
3
在RtBOC中，2
2
x2 3
4
x2 = 2
2
6
解得，x =
15 (x = 2 26 舍去)
H
C
D
成的二面角之间的关系：
cos = SDBC
S ABC
1. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内
所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( C)
(A)30°
(B)60°
(C)90°
(D)150°
2.异面直线a、b成80°角，P为a、b外一定点，若过P 有且仅有2条直线与a、b所成角都为θ，则θ的范围是
( B)
(A)(0°,40°)
(B) (40°,50°)
(C)(40°,90°)
(D) (50°,90°)
3.下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角；
sin CBO = OC = BC
10 ,BC’与底面所成的角是 arcsin
4
10 . 4
为什么？
小结：
求空间角的一般步骤是：
(1)找出或作出有关的图形； (2)证明它符合定义； (3)计算。
三、二面角
1. 二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形
2. 二面角的平面角：
(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.
④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是____②__、__④______.
例题与练习见《数学之友》
D
C
于O是1A1OM1M就 是异 面直D 线A1 1C1B与BD，1所
A
B
成的角（或其补角），连A1M，在 A1M = 22 12 = 5,
OA11MO=1M12 B中D1
=
1 2
22 12 22 = 3 , 2
1 A1O1 = 2
22 12 = 5 , 2
由余弦定理得cos A1O1M =
5 5
,
A1C1与BD1所成的角 为
arccos
5. 5
二、直线与平面所成角
1、定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角
若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l在平面α内，则l与α所成角为0°
2、范围 ［0°，90°］
3、求法
4、（最小角定理） 斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.