一次函数压轴题(含答案)如图，已知直线 $y=2x+2$ 与 $y$ 轴。
$x$ 轴分别交于$A$。
$B$ 两点，以 $B$ 为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形 $\triangle ABC$。
1）求点 $C$ 的坐标，并求出直线 $AC$ 的关系式。
2）如图，在直线 $CB$ 上取一点 $D$，连接 $AD$，若$AD=AC$，求证：$BE=DE$。
3）如图，在（1）的条件下，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于$M$，$P（，k）$ 是线段 $BC$ 上一点，在线段 $BM$ 上是否存在一点$N$，使直线$PN$ 平分$\triangle BCM$ 的面积？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图，作 $CQ\perp x$ 轴，垂足为 $Q$，利用等腰直角三角形的性质证明 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$，根据全等三角形的性质求 $OQ$，$CQ$ 的长，确定$C$ 点坐标；2）同（1）的方法证明 $\triangle BCH\cong \triangle BDF$，再根据线段的相等关系证明 $\triangle BOE\cong \triangle DGE$，得出结论；3）依题意确定 $P$ 点坐标，可知 $\triangle BPN$ 中$BN$ 变上的高，再由 $\frac{1}{2}S_{\trianglePBN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCM}$，求 $BN$，进而得出$ON$。
解答：解：（1）如图，作$CQ\perp x$ 轴，垂足为$Q$。
因为 $\angle OBA+\angle OAB=90^\circ$，$\angleOBA+\angle QBC=90^\circ$，所以$\angle OAB=\angle QBC$。
又因为 $AB=BC$，$\angle AOB=\angle Q=90^\circ$，所以 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$。
因此 $BQ=AO=2$，$OQ=BQ+BO=3$，$CQ=OB=1$。
所以 $C（-3，1）$。
由 $A（-6，2）$，$C（-3，1）$ 可知，直线 $2）如图，作 $CH\perp x$ 轴于 $H$，$DF\perp x$ 轴于$F$，$DG\perp y$ 轴于 $G$。
因为 $AC=AD$，$AB\perp CB$，所以 $BC=BD$。
因此 $\triangle BCH\cong \triangle BDF$。
所以 $BF=BH=2$。
所以 $OF=OB=1$。
所以 $DG=OB$。
因此 $\triangle BOE\cong \triangle DGE$。
所以 $BE=DE$；3）如图，在直线 $ 的条件下，$P（-5，-8）$。
因为 $y=x+2$，所以 $M（-6，0）$。
因此 $BM=5$，则 $\frac{1}{2}S_{\triangle BCM}=10$。
因为 $ $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $(-2，0)$，因此 $BC$ 的斜率为 $-2$。
假设存在点 $N$ 使直线 $PN$ 平分 $\triangle BCM$ 的面积。
则 $BN\cdot ON=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\cdot10}{5}=\frac{2}{5}$。
因此$BN=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$ON=-\frac{1}{\sqrt{5}}$。
因为 $BN<BM$，所以点 $N$ 在线段 $BM$ 上。
因此 $N（-1，\frac{3}{\sqrt{5}}）$。
点评：本题考查了一次函数的综合运用。
关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解。
当x=4，y=2；当x=5，y=1；所以阴影部分（不包括边界）所含格点的个数为10个．2）由直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，且AB的中点为（2.5，3.5）。
所以点C关于直线AB的对称点D的坐标为（6，2）．3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB 于点M，交y轴于点N。
则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标可知直线DE的解析式为y=﹣x+10。
所以当x=5时，y=5，所以点N的坐标为（0，5）．已知如图，直线 $y=-x+4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$，与直线 $y=x$ 相交于点 $P$。
1) 求点 $P$ 的坐标。
点 $P$ 的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标。
解得 $P(3,1)$。
2) 求 $\triangle OPA$ 的面积。
把 $OA$ 看作底，$P$ 的纵坐标为高，从而可求出面积。
解得面积为 $2$。
3) 动点 $E$ 从原点 $O$ 出发，沿着 $O \to P \to A$ 的路线向点 $A$ 匀速运动（$E$ 不与点 $O$、$A$ 重合），过点$E$ 分别作 $EF \perp x$ 轴于 $F$，$EB \perp y$ 轴于 $B$。
设运动 $t$ 秒时，$F$ 的坐标为 $(a,0)$，矩形 $EBOF$ 与$\triangle OPA$ 重叠部分的面积为 $S$。
求：$S$ 与 $a$ 之间的函数关系式。
当 $E$ 点在 $OP$ 上运动时，$F$ 点的横坐标为 $a$，所以纵坐标为 $\frac{4}{2}=2$。
从而得到 $S=a^2$。
当点 $E$ 在 $PA$ 上运动时，$F$ 点的纵坐标为 $1$，从而得到 $S=a^2+2a$。
综上所述，$S$ 与 $a$ 的函数关系式为$S=\begin{cases}a^2.& E \text{在} OP \text{上运动} \\ a^2+2a。
& E \text{在} PA \text{上运动}\end{cases}$。
题目描述：在平面直角坐标系中，有一个边长为4的正方形，其中一条边AB在x轴正半轴上，A点坐标为(1,0)。
现有以下问题：1) 经过点C，且与x轴交于点E的直线，求四边形AECD 的面积；2) 若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；3) 若直线l1经过点F(0,4)且与直线y=3x平行，将(2)中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积。
解答：1) 由题可知，A点坐标为(1,0)，因此正方形的左下角坐标为(1,-3)，右上角坐标为(5,1)。
因为直线CE与x轴交于点E，所以E点坐标为(2,0)。
因为AE和CD平行，所以四边形AECD是梯形，根据梯形面积公式，可得四边形AECD的面积为$S=\frac{(AE+CD)\times AB}{2}=\frac{(2-1+4)\times4}{2}=10$，因此四边形AECD的面积为10.2) 画出图形后，我们可以发现，如果直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，那么直线l必然经过正方形的重心G，且EG和GC的长度相等。
设直线l的解析式为$y=kx+b$，则E点坐标为(2,0)，G点坐标为正方形的重心坐标$(\frac{1+5}{2},\frac{0+(-3)+1+4}{4})=(3,1)$。
因为EG和GC的长度相等，所以EG的中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{0+1}{2})=(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$，GC 的中点坐标为$(\frac{3+4}{2},\frac{1+(-3)}{2})=(\frac{7}{2},\frac{-1}{2})$。
因为EG和GC的长度相等，所以直线l的斜率为$k=\frac{1-0}{3-2}=1$，代入E点坐标可得$b=-2$，因此直线l的解析式为$y=x-2$。
3) 因为直线l1经过点F(0,4)且与直线y=3x平行，所以直线l1的解析式为$y=3x+4$。
如果将直线l沿着y轴向上平移1个单位，那么新的直线l的解析式为$y=x-2+1=x-1$。
因为l和l1的交点坐标为$(\frac{4}{3},4)$，所以N点坐标为$(\frac{4}{3},-\frac{14}{3})$，M点坐标为$(0,1)$。
因此△NMF的底边长为$\frac{4}{3}$，高为18，所以△NMF的面积为$S=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times 18=12$。
综上所述，(1)四边形AECD的面积为10；(2)直线l的解析式为$y=x-2$；(3)△NMF的面积为12.25.如图，直线 $l_1$ 的解析式为 $y=-3x+3$，且 $l_1$ 与$x$ 轴交于点 $D$，直线 $l_2$ 经过点 $A$，$B$，直线 $l_1$，$l_2$ 交于点 $C$。
1) 求直线 $l_2$ 的解析式；2) 求 $\triangle ADC$ 的面积；3) 在直线 $l_2$ 上存在异于点 $C$ 的另一点 $P$，使得$\triangle ADP$ 与 $\triangle ADC$ 的面积相等，求出点$P$ 的坐标；4) 若点 $H$ 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 $H$，使以 $A$、$D$、$C$、$H$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：1) 根据图像可知，点 $B$ 和点 $A$ 在坐标轴上，设直线$l_2$ 的解析式为 $y=kx+b$，则有begin{cases}3x+3=kx+b \\kx+b=y_Aend{cases}解得 $k=2$，$b=-3$，即直线 $l_2$ 的解析式为 $y=2x-3$。
2) 点 $D$ 的坐标为 $(1,0)$，直线 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点$D$，则点 $C$ 的坐标为 $(-1,-3)$。
由三角形面积公式可得$\triangle ADC$ 的面积为S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}\times AD\times|CD|=\frac{1}{2}\times 3\times 3=4.53) 设点 $P$ 的坐标为 $(x_P,y_P)$，则有begin{cases}y_P=2x_P-3 \\frac{1}{2}\times 3\times |x_P-1|=\frac{1}{2}\times 3\times |-3-y_P|end{cases}解得 $x_P=6$，$y_P=3$，即点 $P$ 的坐标为 $(6,3)$。
4) 设点 $H$ 的坐标为 $(x_H,y_H)$，则以 $A$、$D$、$C$、$H$ 为顶点的四边形是平行四边形的充分必要条件是begin{cases}AC\parallel DH \\AD\parallel CHend{cases}即begin{cases}frac{y_C-y_H}{x_C-x_H}=-\frac{1}{3} \\ frac{y_D-y_H}{x_D-x_H}=2end{cases}代入 $A$、$D$、$C$ 的坐标可得begin{cases}y_H=-3-x_H \\y_H=2x_H \\y_H=-3-\frac{1}{2}x_Hend{cases}解得$x_H=6$，$y_H=12$，即点$H$ 的坐标为$(6,12)$。