上海市初三数学第二学期月考试卷（满分150分，完卷时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列运算正确的是（ ） （A ）2x 2-x 2=2 ；（B ）(x 3)2 = x 5 ； （C ）x 3·x 6=x 9 ； （D ）(x +y)2=x 2+y 2．2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） （A ）15；（B ）48； （C ）2a； （D ）84+a ． 3．六个数6、2、3、3、5、10的中位数为（ ） （A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6．4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =2AC ，则sinA 的值是（ ） （A ）3；（B ）21； （C ）23； （D ）33． 5．不等式组⎩⎨⎧>+<362x x x 的解集是（ ）（A ）x >3 ；（B ）x <6；（C ）3<x <6 ； （D ）x>6．6．如图，⊙O 1、⊙O 2内切于点A ，其半径分别是6和3，将⊙O 2沿直线O 1O 2平移至两圆外切时，则点O 2移动的长度是（ ） （A ）3； （B ）6； （C ）12；（D ）6或12．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算:｜32-｜+31=___________． 8．因式分解:a 2-4a=_________________．9．方程312=-x 的根是 ．10．若一元二次方程x 2+2x -k =0没有实数根，则k 的取值范围是____________． 11．已知反比例函数的图像经过点（m ，3）和（-3，2），则m 的值为 ．(第6题图)12．已知二次函数y =3x 2的图像不动，把x 轴向上平移2个单位长度，那么在新的坐标系下此抛物线的解析式是___________________．13．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．14．某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人，则根据图中信息，可知该校教师共有_________人．15．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，如果a AB =，b AD =，那么=AC （用a ，b 表示）．16．在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 边上，DE ⊥AB ，垂足为E ，AD =2DC ，则DCBE ADE S S 四边形:∆的值为 ．17．如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线l 1，l 2，的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3,2）的点共有个．18．如图，直角三形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=6，BC =8．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . 则sin ∠DAE = ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()131123321)21(88-++--÷+-20．（本题满分10分）解方程：281242x x x x -=--+·Ml 1l 2Opq(第17题图)ACBDE(第18题图)21．（本题满分10分，其中每小题各5分）在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC =60°，D 为BC 中点，连结AD ，过点D 作DE ⊥AD ，交AB 的延长线于E ．（1）若AD =7，求△ABC 的面积； （2）求ABBE的值．22．（本题满分10分，其中第（1）4分、第（2）小题6分）某公司销售一种商品，这种商品一天的销量y （件）与售价x （元/件）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x ≤70．（1）根据图像，求ｙ与x 之间的函数解析式； （2）设该销售公司一天销售这种商品的收入为w 元．① 试用含x 的代数式表示w ；② 如果该商品的成本价为每件30元，试问当售价定为每件多少元时，该销售公司一天销售该商品的盈利为1万元？（收入=销量×售价）售价（元/件）（第22题图）（第21题图 C23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，EF 垂直平分AC ，垂足为O ，联结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）点P 在线段AC 上，满足AP AC AE ⋅=22，求证：CD ∥PE ．A BCDEFOP（第23题图）24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题4分，第（3）小题3分） 已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （-1，0），B （4，0），P （5，3），抛物线与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式； （2）求tan ∠APC 的值；（3）在抛物线上求一点Q ，过Q 点作x 轴的垂线，垂足为H ，使得∠BQH =∠APC ．25．（本题满分14分，其中第（1）题4分，第（2）题的第①、②小题分别为4分、6分） 如图1，在△ABC 中，已知AB =15，cosB =35，tanC =512．点D 为边BC 上的动点（点D 不与B 、C 重合），以D 为圆心，BD 为半径的⊙D 交边AB 于点E ．（1）设BD =x ，AE =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域；（2）如图2，点F 为边AC 上的动点，且满足BD =137CF ，联结DF ． ① 当△ABC 和△FDC 相似时，求⊙D 的半径； ② 当⊙D 与以点F 为圆心，FC 为半径⊙F 外切时，求⊙D 的半径．CBCB（第25题图）上海市初三数学第二学期月考试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．C ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．1； 8．a (a -4)； 9．x =5；10．k <-1；11．-2；12．2-32x y =； 13．31； 14．108； 15．-2； 16．72； 17．4； 18．65136． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2+8÷（-2）-2+3+1………………………………………………………（8分）=3-3…………………………………………………………………………（2分） 20．解：x(x+2)-8=x-2……………………………………………………………………（4分）x 2+2x-8-x+2=0x 2+x-6=0…………………………………………………………………………（2分） (x+3)(x-2)=0x 1=-3，x 2=2………………………………………………………………………（2分） 经检验：x 2=2是增根…………………………………………………………………（1分） ∴原方程的根为x=-3…………………………………………………………………（1分）21．解：（1）∵∠ABC =90°，∠BAC =60°，∴∠C=30°，∴AC =2AB …………………（1分） 设AB =k ，则AC =2k ，BC =3k ，∵D 为BC 中点，∴BD =DC =23k 在Rt △ABD 中，AB 2+BD 2=AD 2，AD =7∴k 2+(23k )2=(7)2…………………………………………………………（1分） ∴k =2……………………………………………………………………………（1分） ∴AB =2，BC =23………………………………………………………………（1分） ∴322322121=⨯⨯=⋅=∆AB BC S ABC ……………………………………（1分）（2）∵AD ⊥DE,∴∠ADE =90º，∴∠DAE +∠E =90º ∵∠ABC =90°，∴∠DAE +∠ADB =90°，∴∠ADB =∠E ……………………（1分）∵∠ABD=∠DBE=90°，∴△ABD ∽△DBE ………………………………（1分）∴BEBDBD AB =…………………………………………………………………（1分） ∴BEkk k 2323=，∴k BE 43=………………………………………………（1分） ∴4343==k kAB BE ………………………………………………………………（1分）22．解：（1）设函数解析式为y =kx +b (k ≠0)………………………………………………（1分） ∵函数图像过点（50，350），（60，300）∴⎩⎨⎧=+=+3006035050b k b k ……………………………………………………………（1分）解得⎩⎨⎧=-=6005b k ……………………………………………………………………（1分）∴y=-5x +600 ………………………………………………………………………（1分） （2）①w =(-5x +600)·x=-5x 2+600x …………………………………………………………………（3分） ②（-5x 2+600x ）-（-5x +600)·30=10000……………………………………（1分） x 2-150x +5600=0 （x -70）(x -80)=0x 1=70，x 2=80(舍去) ………………………………………………………（1分） 答：当售价定为每件70元时，该销售公司一天销售该商品的盈利为1万元．…………（1分） 23．证明：（1）∵四边形ABCD 矩形，∴AD ∥BC ，∴OFEOOC AO = …………………（2分） ∵EF 平分AC ，∴AO =OC ，∴EO =OF ………………………………（1分） ∴四边形AFCE 是平行四边形……………………………………………（1分）∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形.……………………………………（1分）（2）∵EF 垂直平分AC ，∴AC =2AO ，∠AOE =90°…………………………（1分）∵AP AC AE ⋅=22，∴AP AO AE ⋅=222，∴AO AEAE AP=………（1分） ∵∠EAP =∠OAE ，∴△AOE ∽△AEP …………………………………（1分）∴∠AEP =∠AOE =90°……………………………………………………（1分） 又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =90°…………………………………（1分） ∴∠AEP =∠D ……………………………………………………………（1分） ∴CD ∥PE …………………………………………………………………（1分）24．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-1，0），B （4，0），P （5，3）∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-352504160c b a c b a c b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===2-23-21c b a ………………………………………………………（4分）∴抛物线的解析式223212--=x x y ……………………………………………………（1分） （2）∵抛物线与y 轴交于点C ，∴C （0，-2）…………………………………………（1分） ∵A （-1，0），P （5，3），∴53=PA ，5=AC ，25=PC …………………（1分） ∵5022=+AC PA ，502=PC ，∴222PC AC PA =+……………………………（1分）∴∠P AC =90º，∴tan ∠APC=31=PA AC ……………………………………………………（1分） （1）设点Q （x ，223212--x x ），则QH=｜223212--x x ｜，OH =｜x -4｜……（1分）∵∠BQH =∠APC ，∴tan ∠BQH =tan ∠APC ，∴31=QH OH 即312232142=---x x x ，∴312232142=---x x x 或31-2232142=---x x x ………………（1分） 解得5,421==x x 或7,421-==x x ，∴Q （4，0）（舍），Q （5，3）（舍），Q （-7，33）∴Q （-7，33）…………………………………………………………………………………（1分） 25．解：（1）过点D 作DG ⊥BE ，垂足为E∵DG 过圆心，∴BE =2BG …………………………………………………（1分）在Rt △DGB 中，cosB =53=BD BG ，∵BD =x ，∴BG =x 53 ………………（1分）∴BE =x 56，∵AB =15，∴y =15-x 56………………………………………（1分）定义域为0<x ≤225………………………………………………………（1分） （2）①过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H 在Rt △ADH 中，cosB=53=AB BH ∵AB =15，∴BH =9，∴AH =12……………………………………………（1分） 在Rt △AHC 中，tanC=512=HC AH ∴HC =5，∴BC =14…………………………………………………………（1分） 设BD =x ，则CF =x 713，DC =14-x ∵∠C=∠C ，∴当△ABC 和△FDC 相似时，有（ⅰ）CB CD CA CF =，即141413713xx-=，x =314，∴BD =314…………………（1分）（ⅱ）CA CD CB CF =，即131414713x x-=，x =2671372，∴BD =2671372…………（1分） ∴当△ABC 和△FDC 相似时，⊙D 的半径为314或2671372②过点F 作FM ⊥BC ，垂足为M在Rt △FMC 中，tanC=512=MC FM …………………………………………（1分） ∴sinC=1312=FC FM ，∵CF =x 713，∴FM =x 712，MC =x 75…………………（1分）∴DM =14-x-x 75=14-x 712……………………………………………………（1分） ∴DF =2222)712()71214(x x FMDM +-=+…………………………（1分） ∵⊙D 与⊙F 外切，∴DF =x x x 720713=+…………………………………（1分） ∴22)712()71214(x x +-=x 720，解得x 1=27，x 2=249-(舍去)即BD =27………………………………………………………………………（1分）∴当⊙D 与⊙F 外切时，⊙D 的半径为27．。