古希腊三大作图难题北京化工大学 殷光中概述：尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。

古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。

众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。

而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。

直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。

到此，这一问题才告一段落。

期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。

人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……1、三等分任意角科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式tan1α=t tan2α=212t t- tan3α=23313t t t --tan4α=4236144tt t t +-- tan5α=42535101105t t t t t +-+-tan6α=64253151516206t t t t t t -+-+- tan7α=64275373521121357t t t t t t t -+--+-tan8α=86427532870281856568t t t t t t t t +-+--+-…… 有如下特征：① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。

② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若tann α=...1......8463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，tan(n+1) α=...)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。

③分子以 “nt ”开头 ，分母以“1”；若从第一项开始每两项为一对，分子上：奇数对的基数项（简称奇对奇项）以“”结尾，奇对偶项以“n”结尾；偶对奇项以“-”结尾，偶对偶项以“- n”结尾；分母上：奇对奇项以“n ”结尾，奇对偶项以“-”结尾；偶对奇项以“-n”结尾；偶对偶项以“”结尾。

注意：奇数项中分子、分母的项数相同，偶数项中分母项数比分子项数多一项。

综合以上特征和八个式子的系数关系，我们不难发现：tan(4k+0) =n n nn n nn nnn n n n n nttt t t t t t t C CC C CC C C C +-+-+--+-+-----2244220011553311............tan(4k+1)= 1122003311............--+-+-+-+-n n nn n nnn n n tt t t t t C C C C C C tan(4k+2)=n n nn n nnnn n n nntt t t t t t C C C C C C C -+-+-+-+-----222200113311............ tan(4k+3)=11442200553311............---+-+--+-+-n n nnnnn n nn n n tt t t t t t t C C C C C C C C我们将分子、分母上的正项、负项分别合并，得tan(4k+0)=214214204204024024014014004004314314304304124124114114104104.........+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--+++--+++tttttttttCCCCCtC C C C C nnnnnn nnn n同理，tan(4k+1)=214214204204024024014014004004314314304304124124114114104104.........+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--+++--+++tttttt tttC CCCCt C C C C C nnnnnnnnn ntan(4k+2)=214214204204024024014014004004314314304304124124114114104104.........+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--+++--+++tttttttttCCCCCtC C C C C nnnnnnnnn ntan(4k+3)=214214204204024024014014004004314314304304124124114114104104.........+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--+++--+++tttttttttCCCCCtC C C C C nnnnnnnnn n综上所述，当m=[n/4]时，tan=t,有tan(n )=240240440034341414+=+===++++∑∑∑∑--k mk k nmk k k nmk mk k k nk k ntt ttCCC C1.1.2下面我们用数学归纳法来验证上式的正确： 证明：假设当n=M （M 属于N ，且M>1）时，原式成立，即tanM = 240240440034341414+=+===++++∑∑∑∑--k mk k Mmk k kMmk mk k k M k k Mtt t tC CC C那么当n=M+1时,tan(M+1)=ααααtan tan 1tan tan ⋅-+M M= ∑∑∑∑∑∑∑∑==++++=+=====+++++++-+--+-mk mk k k M k k Mk mk k Mmk kkM mk mk mk mk k k M k k Mk k Mk kM t tttt tttC CCC C C C C 002424434240140440000343414143424144= ∑∑∑∑∑∑∑∑==++++=+=====+++++++-+--+-mk mk k k M k k M k mk k M mk k kM mk m k m k mk k k M k k M k k M k kM t t t t t t t t C C C C C C C C 002424434240140440000343414143424144 =]]]]242424014044344400343434241414144[[[[+++=+=++==++++++++-++-+∑∑∑∑k k Mk mk k Mm k k k Mk k Mmk mk k k M k k Mk k M k k M t tttt tt tCCCCC CC C= 240241044103434114141+=++=+==++++++∑∑∑∑--k mk k M mk k kM mk mk k k M k k M t t t tC CC C1.2“T ”型架三等分任意角如图设∠AOB 是要等分的任意角O-MN “T ”型架(MOp=NOp,MN OOp),作OB的平行线a（如图虚线），使OB与a的距离d=MOp=NOp.然后让“T”型架绕点O转动，当M点N点恰好分别落在OA与a上时，则得到的夹角∠COB为其三等分角。

易证明∠COB=∠AOOp=∠COOp.如过在丁字尺的长边正中间做一条直线(相当于OOp),横梁边缘相当于MN,则丁字尺就可以用于三等分任意角,方便而简洁。

上面的是‘1T ’型杆。

一般地, ‘NT ’型杆可以‘2N+1’等分任意角。

下面是五等分角示例：如图设∠AOB是要等分的任意角，OT-MN为双“T”型架，作OB的平行线a（如图虚线），使OB与a的距离d=MO2=NO3.然后让“T”型架绕双T交汇点O1旋转，刚好使M.N.OT点分别落在OA.a. 线上和O点上，则此时AOO2角即为五等分角。

1.3 阿基米德活动杠杆三等分任意角[2]方法如下：杠杆由两部分组成：主杆（BG）和活动杆（OG）。

活动杆的一端（O）和主杆的一端（D）对齐，另一端（G）固定在主杆上，固定点用G表示。

设∠AOB是要等分的任意角，且可取OA=OB=OG。

将活动杆的一端固定在O点主杆过B点，滑动转杆装置使得主杆与活动杆相齐的一端与AO 的延长线相交D点。

如图：因为DG=GO=OB,所以∠GDO=∠GOD，∠OGB=∠OBG，则∠AOB=∠GDO+∠OBG=∠GDO+∠OGB=3∠GDO.帕斯卡蜗线[3]（如右图）与阿基米德活动杠杆三等分角原理是一样的，我们可以认为其等同，或这说蜗线是阿基米德活动杠杆的数学普适表示形式，阿基米德思想上侧重于实操性，而帕斯卡蜗线侧重于数学上的表达。

帕斯卡蜗线方程为：（极坐标下）,或者直角坐标系。

1.4蒲扇线与三等分任意角如左图，形状如“蒲扇”又如“桃心”，与既有的“心形线”[3]，方程：;神似，但非等同。

为加以区分，此以后称之为“蒲扇线”。

其作图方法如下：1，作任意圆O，半径为R=a;2，以圆O上任意点A作为基点开始做线，过圆心的任意线交圆于C 点，延长OC，使BC=AC弦长，由此确定一个B点。

3，则绕整个的圆周作图，无穷个这样的点可以组成如图的“蒲扇线”。

这是超越了尺规规定的作图方法，“蒲扇线”也叫做一种超越线，虽然按作图方法表面上式不可能做到，因为要做无穷多个点。

但是这并不影响到曲线本身的存在性和理论意义，就像上文中所说的诸多方法也即是如此思路。

“蒲扇线”在极坐标下的一般方程为：(以O为圆心，OA为横轴)面积为.当2a=b时，用“蒲扇线”可以三等分任意角，具体方法如下：如图，任意角∠OAB，将顶点A置于基点A处，一边过圆心O，则角的另一边交“蒲扇线”于B点，联结OB，得角ABO为已知角的三等分角。

证明如下：根据曲线的定义与做法，AC=BC,OA=OC,所以，∠OBA=∠BAC，∠OAC=∠OCA，且∠OBA+∠BAC=∠OCA，所以∠OAB=∠OAC+∠BAC=3∠OBA.完。

2、画圆为方2.1阿基米德螺线阿基米德螺线是指一条射线绕其固定端匀速旋转，同时有一个动点从端点出发沿射线匀速运动，这一动点就描绘出一条平面螺线，如右图所示：方程为：阿基米德螺线，可以成功地“画圆为方”和三等分任意角。