第二章函数§2.1函数2.1.1 函数第1课时变量与函数的概念【学习要求】1.通过丰富实例，加深对函数概念的理解，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的三要素．3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.填一填：知识要点、记下疑难点1.函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域.2.区间概念：设a，b∈R，且a<b.(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作 [a，b]．(2)满足 a<x<b 的全体实数x的集合，叫做开区间，记作(a，b)．(3)满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，分别记作 [a，b)或(a，b]．(4)满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞) ，(a，＋∞) ，(－∞，a] ，(－∞，a) .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．探究点一变量与函数的概念问题1 阅读教材29－30页中的(1)，(2)，(3)，(4)四个函数关系的例子，指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的对应关系采用什么形式表达的？答：在上面的每个例子中，都指出了自变量的变化范围、由自变量确定因变量的对应法则，以及由此确定的因变量的取值范围．例子(1)和(2)中的两变量关系通过图象的形式表达的，例子(3)中的变量间的关系通过列表的形式表达的，例子(4)中的变量间的关系通过关系式表达的．问题2 从上述的四个例子中，你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量？答：一个函数关系必须涉及到两个数集和一个对应法则．问题3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点？答：共同特点是：对于集合A中的任意一个数x，按照确定的对应法则f，都有唯一确定的数y和它对应．问题4确定一个函数最少需要几个要素？为什么？答：最少需要两个要素：定义域和对应法则．因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定．问题5 若检查给定两个变量之间是否具有函数关系，只须检查什么？答：(1)定义域和对应法则是否给出；(2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.例1 对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有 ( )①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量； ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： ①③正确，②是错误的，对于不同的x ，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．小结： (1)在y ＝f(x)中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样；(2)f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；(3)f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数．跟踪训练1 下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？(1)y ＝(x)2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x . 解：(1)y ＝(x)2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不同，所以两函数不相等；(2)y ＝3x 3＝x(x∈R )，y∈R ，对应法则相同，定义域和值域都相同，所以相等；(3)y ＝x 2＝|x|＝⎩⎨⎧x ，x≥0－x ，x<0，y≥0；值域不同，且当x<0时，它的对应法则与函数y ＝x 不相同，所以不相等；(4)y ＝x 2x的定义域为{x|x≠0}，与函数y ＝x 定义域不相同，所以不相等． 探究点二 区间的概念问题1 阅读教材31页下半段，然后回答区间的概念是如何定义的？答：设a ，b∈R，且a<b,(1)满足a≤x≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a ，b]．(2)满足a<x<b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(a ，b)．(3)满足a≤x<b 或a<x≤b 的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，分别记作[a ，b)或(a ，b]． 问题2 实数集R 及x≥a，x>a ，x≤b，x<b 如何用区间表示？答：实数集R 可以用区间(－∞，＋∞)表示；x≥a，x>a ，x≤b，x<b 分别用区间表示为：[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．问题3 在数轴上如何表示区间[a ，b]、(a ，b)、[a ，b)、(a ，b]、[a ，＋∞)、(a ，＋∞)? 答： 如图所示：a ，b 叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．探究点三 求函数的定义域导引 在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．问题1 对于一个确定的函数关系式，我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域？答： (1)分母不为零；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)若函数由几部分构成，则定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(4)如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑实际问题有意义．问题2 在初中已学函数的定义域和值域是怎样的？答： 一次函数f(x)＝ax ＋b(a≠0)：定义域为R, 值域为R ；反比例函数f(x)＝k x(k ≠0)：定义域为{x|x ≠0}, 值域为{y|y ≠0}；二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)：定义域为R ，值域为当a>0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|y ≥4ac －b 24a ；当a<0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|y ≤4ac －b 24a . 例2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x －2；(2)f(x)＝3x ＋2；(3)f(x)＝x ＋1＋12－x. 解： (1)∵x≠2时，分式1x －2有意义， ∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．(2)∵3x＋2≥0，即x≥－23时，根式3x ＋2才有意义， ∴这个函数的定义域是{x|x≥－23}．(3)∵要使函数有意义，必须⎩⎨⎧ x ＋1≥02－x≠0⇒⎩⎨⎧x≥－1x≠2. ∴这个函数的定义域是{x|x≥－1且x≠2}．小结： 求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取值范围．跟踪训练2 求函数f(x)＝1x ＋1的定义域． 解： 要使已知函数有意义，当且仅当x ＋1>0.所以，这个函数的定义域是{x|x>－1}，即(－1，＋∞)．探究点四 求函数值和值域例3 求函数f(x)＝1x 2＋1(x∈R)，在x ＝0,1,2处的函数值和值域． 解： f(0)＝102＋1＝1， 容易看出，这个函数当x ＝0时，函数取得最大值1，当自变量x 的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小至趋向于0，但永远不会等于0. 于是可知这个函数的值域为(0,1]．小结： (1)f(a)表示x ＝a 时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．(2)由于函数的定义域和值域都是一个集合，在求函数定义域和值域的时候，要把定义域和值域写成集合的形式，所以常用两种方法表示：集合、区间．跟踪训练3 求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x∈{1,2,3,4}；(2)y ＝x ＋1.解： (1)值域为{3,5,7,9}； (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，∴值域为[1，＋∞)．例4 (1)已知函数f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知函数f(x －1)＝x 2，求f(x)．解： (1)f(x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1；(2)因为f(x －1)＝x 2＝[(x －1)＋1]2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1.所以f(t)＝t 2＋2t ＋1，即f(x)＝x 2＋2x ＋1.小结： 函数f(x)＝x 2，即x→x 2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，所以x→x 2与y→y 2，t→t 2，u→u 2，…都表示同一个函数关系．f(x －1)表示自变量x 用代数式x －1代替后得到的新函数． 跟踪训练4 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x 2)的定义域．(2)已知函数f(2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．解： (1)∵f(x)的定义域为(0,1)，∴要使f(x 2)有意义，须使0<x 2<1，即－1<x<0或0<x<1，∴函数f(x 2)的定义域为{x|－1<x<0或0<x<1}．(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，即其中的函数自变量x 的取值范围是0<x<1，令t ＝2x ＋1， ∴1<t<3，∴f(t)的定义域为1<t<3，∴函数f(x)的定义域为{x|1<x<3}.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中，不正确的是 ( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应法则确定后，函数值域也就确定D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素解析： 由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数其定义域和值域都不是无限集合，故选项B 错．2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( )A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应解析： 函数的值域不可能为空集，故A 错；当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则可以不同，故B 错；由于整数集没法用区间表示，故C 错．所以选D.3.已知函数f(1－x 1＋x)＝x ，求f(2)的值． 解： 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13， 所以f(2)＝－13. 课堂小结：1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2. f(x)是函数符号，f 表示对应法则，f(x)表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不同的函数中f 的具体含义不同，由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.。