第四节 函数的单调性与曲线的 拐点
一、单调性的判别法 二、曲线的凹凸性及拐点 三、小结及作业
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一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
8
例4 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
B
y
y f (x)
A
o
x
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
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1. 曲线的凹凸与拐点的定义
定义 1. 设函数 f ( x)在区间 I上连续 , x1 , x2 I,
(1) 若恒有 f ( x1 x2 ) f 证明不等式。 例5 当x 0时,试证x ln(1 x)成立.
证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
1 x
f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0, 在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，f ( x) f (0) 0
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)( x 2) 令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (, 1) 1 (1 , 2) 2 (2, )
f (x)
0
0
f (x)
2
1
故 f ( x)的单调增区间为 (, 1) ,(2, ) f ( x)的单调减区间为 (1 , 2)
2
2
则称 f (x) 的图形是凹的;
(2)
若恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1) 2
f (x2) ,
则称 f ( x) 的图形是凸的 . yy
函数图形上凹凸的分界点称为拐点 .
oo
x1
x1 x2 2
x214
xx
2、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
2
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x ln(1 x) 0,
即 x ln(1 x). 10
例6
当0
x 时， 证明ex
2
sin
x 1
x2 。 2
证明：作f ( x) ex sin x (1 x2 ) 2
0 x
2
f (0) 0 f ( x) ex cos x x
f (0) 0 f (x) ex sin x 1
6
（3）讨论函数单调性的步骤： ） 1）确定函数的定义域；
2）求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； 3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论 。4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调 性.
例如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上单调增加.
y x3
x
7
例3. 确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
5
（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但 在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的 点只可能是的 f (x) 0点及导数不存在的点．
如 y sin x在[0,2 ]上不单调
但在[0, ],[ , 3 ],[3 ,2 ]上单调
2 22 2
且f ( ) f (3 ) 0
2
2
3
2 2
2
再如 y x 在x 0点不可导但改变单调性。
f (0) 0 f ( x) ex cos x 0
因此，f ( x)单调减少, f ( x) f (0) 0
f (x)单调减少， f ( x) f (0) 0
f(x) 单调减少 f ( x) f (0) 0
也就是
ex
sin
x
(1
x2
)
0
ex
sin
x
x2 111
2
2
例7 证明x3 x2 x 1 0只有一个实根。 证明：令f ( x) x3 x2 x 1
3
例1 讨论y x sin x在[0,2 ]上的单调性。
解 ： y 1 cos x 0, x (0,2 ),
y x sin x在[0,2 ]上单调增加。
说明：（1）把(a, b)换成无穷区间定理仍成立
如 f (x) 2x 8 x
在(,2)上f (x)
2
8 x2
0
f (x)在(,2)上单调增加。
4
例2 讨论函数y ex x 1的单调性. 解 y e x 1.又 D : (,).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
f ( x) 3x2 2x 1 3(x 1)2 2 0
f ( x)在(,)上严格单增3 3
所以方程最多有一个实根。
又f (0) 1 0, f (2) 8 4 2 1 5 0
所以f (x)在[2,0]上至少有一实根， 即方程只有一个实根
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二、曲线的凹凸性及拐点
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?