2
由 y c1e x c2 e x ， y c1e x c2 e x ，可得 c1 c2 0, c1 c2 1， 故 c1
1 1 1 , c 2 ，这样就得到所求曲线为 y (e x e x ) ，即 y sinh x ． 2 2 2
y 4 y 0
的
通
解
的
函
数
是
（
） （B） y C cos 2 x(1 sin 2 x) ； （D） y C cos(2 x ) ．
（A） y 3C cos 2 x (12 29C ) sin 2 x ； （C） y kC cos 2 x 1 k 2 C 2 sin 2 x ；
将其中 P( y )
1 1 , Q( y ) 代入一阶线性方程求解公式，得通解 y ln y y

1 1 y ln y dy 1 y ln y dy 1 xe dy e ln(ln y ) c e ln(ln y ) dy c e y y
1 1 ， 法线方程为 Y y = ( X x) ， y y 1 (0 x) 从而可得所求微分方程为 x yy 0 ． y
因为法线过原点，所以 0 y
第 9 章（之 2） （总第 45 次） 教学内容：§9.2 .1 可分离变量的方程； §9.2 .2 一阶线性方程 **1．求下列微分方程的通解： （1） y 解：
x(1 y ) ； 1 x2
dy xdx dy xdx ，两边积分 ， 2 1 y 1 x 1 y 1 x2
分离变量
得 ln(1 y)
C 1 ． ln(1 x 2 ) ln C ，即 y 1 2 1 x2
（2） y
x 2 x y 2 ； e 2y
2
x
0
解． **6．求以下列函数为通解的微分方程： （1） y 3 Cx 1 ； 解 将 等 式 y 3 Cx 1 改 写 为 y 3 Cx 1 ， 再 在 其 两 边 同 时 对 x 求 导 ， 得
3 y 2 y C ，代入上式，即可得到所求之微分方程为 3xy 2 y y 3 1．
ye

2 2 1 1 x dx x dx c ( ) e dx x x2


1 x2
c 1 1 1 1 1 1 c ( 2 ) x 2 dx 2 c x 2 x 2 2 x x x 2 x x
1
1
y
代入方程得 y y y 0 ，
1
此外 y(0) 0，y (0) 1，
x 2 3 故y 3e 2 sin x 是初始值问题的解． 3 2
*5．验证 y e x e t d t Ce x （其中 C 为任意常数）是方程 y y e x x 的通解．
**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为 k ） ，求降 落伞的下落速度与时间的函数关系． dv 解：根据牛顿运动第二定理有 m mg kv ．这是一个可分离变量方程，分离 dt 变量并积分得 1 t ln(mg kv ) C ． k m 由初始条件 v(0) 0 ，
，
dy dx y 1 x2
( y 0 )，

dy y
dx 1 x2
，
ln y arcsin x C ， y Ce arcsin x ，
arcsin 1 2 ， C 1 ， y e arcsin x ． y ( ) e ， e Ce 2
x 2 y xy y 0 ．
**7．建立共焦抛物线族 y 2 4C ( x C ) （其中 C 为任意常数）所满足的微分方 程［这里的共焦抛物线族是以 x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］ ．
2
解
在方程 y 2 4C ( x C ) 两边对 x 求导有 2 yy 4C ，从这两式中消去常数
第 9 章（之 1） （总第 44 次） 教学内容:§9.1 微分方程基本概念 *1 ． 微 分 方 程
2( y ) 3 9 y y 5xy 7
的
阶
数
是
（ ） （A）3； （B）4； （C）6； 答案（A） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．
（D）7．
*2 ． 下列函数中的 C 、 、 及 k 都是任意常数，这些函数中是微分方程
所求方程为 y y (2 x yy ) ． **8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线 y y( x) 上任一点处的法 线都经过坐标原点． 解 任取 y y( x) 上的点 ( x , y) ，曲线在该点处的切线斜率为 y =
dy ． dx
所以过点 ( x, y) 的法线斜率为
x2 2
dy ，即 dx
dy dy xy 2 x ， 分 离 变 量 得 xd x ， 积 分 得 dx y2
y Ce
2，
x 2
在原方程两边以 x 2 代入，可得初试条件 y
2 ． 据 此 可 得
C 4e ，所以原方程的解为
1
y 4e
x2 1 2
2．

c o xt dx c o xt dx ye C e c o xse dx e ln sin x (C e cos x e ln sin x dx)
csc x(C e cos x sin xdx) (C e cos x ) csc x ，
由 y ( ) 1 ， 可确定 C 2 ，所以 2 （4） x 2 d y (2 xy x 1) d x 0 ， y 解： 方程变形为

y (2 e cos x ) csc x ．
x 1
0．
y
2 1 1 y 2 ，是一阶线性非齐次方程，其通解为 x x x
2
பைடு நூலகம்
解：分离变量 2 ye y dy xe 2 x dx ，两边积分就得到了通解
ey
2
1 1 1 ( xe 2 x e 2 x dx) ( xe 2 x e 2 x ) c ． 2 2 2

（3） (2 x 1)e y y 2e y 4 0 ． 解：
ey d y dx ， y 2x 1 2e 4
d2 y d y y0 2 3 dx sin x 是初值问题 d x 的解． d y 2 y x 0 0, x 0 1 dx
*4．证明：函数 y
2 3e 3
1 x 2
1
证明
x 3 2 x 3 3 y e s i n xe 2 c o s x， 3 2 2 x 3 2 x 3 3 e sin x e 2 cos x， 3 2 2 1 1

由 y(1) 0 ， 得 c
1 1 1 1 ， 所以特解为： y 2 ． 2 2 x 2x
**4． 求微分方程 y ln y dx ( x ln y)dy 0 的通解 （提示将 x 看作是 y 的函数） ． 解：将 x 看作是 y 的函数，原方程可化为
dx 1 1 x ，这是一阶线性方程， dy y ln y y
（2） y C1 x
C2 ． x
解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二 阶方程，在方程等式两边同时对 x 求两次导数，得
y C1 C2 2C ， y 32 ． 2 x x
从以上三个式子中消去任意常数 C1 和 C 2 ，即可得到所求之微分方程为
1 1 2 x x 2
．

1 2 x x 2
2 Ce 1 x ，解得○
x2 x
1 x x2 2
2 代入○ 1 即可 C ，○
y 1 Ce 2
*3．求解下列初值问题： （1） y
1 ， y ( ) e 6 ． 2 2 1 x
．
y

解： y =
y 1 x2
k t mg 1 得 C ln( mg ) ，即得 v 1 e m ． k k
6
6
1
（2） y 2 xy e x ， y(0) 1； 解: y 2 xy e x ，
y ( x) e
2 xdx
2
2
p ( x) 2 x ， q ( x ) e x ，
2

e x 2 e 2 xdx dx C e x 2 e x 2 e 2 xdx dx C xe x 2 Ce x 2 ，
4
y(0) 1， 1 0 c c 1，
y ( x 1)e x ．
2
（3） y y cot x e cos x ， y ( ) 1 ； 2 解： y y cot x e cos x ，

x ， Q( x) e c o xs ． P( x ) c o t
1 1 1 ln(e y 2) ln( 2 x 1) ln C ， 2 2 2
3
即 (e y 2)(2 x 1) C ．
**2．试用两种不同的解法求微分方程 y 1 x y xy 的通解． 解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同 时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量， y (1 x)(1 y) ，
2
2