高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. ()3limsin tan ln 12x x xx →=-+ .2. 21lim2x x x →=+- . 3.已知212lim 31x x ax bx →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 .6. 曲线()121e xy x =-的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ . A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 下列各式中正确的是 .A ．01lim 1e x x x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4. 设0→x 时，tan e1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 曲线221e 1ex x y --+=- .A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1sin ,(0,)x x x∈+∞三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.22lim x →2．()120lim ex xx x -→+3.()1lim 123nn nn →∞++4．21sinlimx x5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦L .6．1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭7．0lim x +→四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2212lim 22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设sin sin sin ()lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题6分）第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 2.设21cos f xx ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '= . 3.d x = . 4.设sin (e )xy f =，其中()f x 可导，则d y = .5.设y =12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数中，在0x =处可导的是 .A.||y x =B.|sin |y x =C.ln y x =D.|cos |y x = 2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()limx f x x f x x x→+--=V V V V .A.6B.6-C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数 .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =-V 时，相应的函数增量y V 的线性主部为0.1，则(1)f '= .A.1-B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(ln e x y =+(2))11y⎫=⎪⎭(3)aaxa x ay x a a =++(4)cos (sin )xy x =2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2ln sin y x x x =+(2)21cot e xy =(3)y x=3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分） （1）2cos ln y x x = （2）11xy x-=+4.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）5.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题6分）6.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题6分）7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）8.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若0,0a b >>均为常数，则3lim 2x xxx a b →⎛+⎫=⎪⎝⎭.2.2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.30arctan limln(12)x x xx →-=+ .4.曲线2e xy -=的凹区间 ，凸区间为 .5.若()e x f x x =，则()()n fx 在点x = 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在(,)a b 内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 .A.极小值B.极大值C.0x 为()f x 的驻点D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1||x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值C ．(0,(0))f 是曲线的拐点D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ∃>，使 .A.()f x 在(0,)δ内单调增加.B.()f x 在(,0)δ-内单调减少.C.(0,)x δ∀∈，有()(0)f x f >D.(,0)x δ∀∈-，有()(0)f x f >.三、解答题(共73分)1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分） （1）当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.（2）当02x π<<时，2sin x x x π<<.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）0e e 2lim sin x x x xx x-→---（2）21sin 0lim(cos )x x x →（3）10(1)elimxx x x→+-4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分） （1）1233()(1)f x x x =-（2）2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩5.求2ln xy x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程1ln 0ex x +=只有一个实根.（本题7分） 第四章 自测题一、填空题(每小题3分,共12分)1．设()arcsin d xf x x x C =+⎰，则1()d x f x =⎰． 2已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2()()1xF x f x x=+，则()f x = ． 3．x = ． 4．d x= ．二、单项选择题(每小题3分,共12分)1．设33()d f x x x C '=+⎰，则()f x 等于 ．A ．312x C + B ．5395x C + C ．3559x C + D ．5335x C +2．设()f x 的原函数为1x，则()f x '等于 ．A ．ln xB ．1xC ．21x -D ．32x3．2d x x x =⎰ ．A ．22xxx C -+ B ．222ln 2(ln 2)x xx C -+ C ．22ln (ln 2)2xxx x C -+ D ．222xx C +4．1tan 1tan d xx x-=+⎰．A ．ln 1sin 2x C ++B ．ln cos sin x xC ++C ．ln sec2tan 2ln cos2x x x C +++D ．ln 1tan 22ln sec x x C +-+三、求下列不定积分（每小题4分，共76分）1．(1ln )d x x x +⎰ 2．x3．2ln(1)(2)d x xx +-⎰ 4．e x x ⎰5．arctan 21e d xx x x+⎰ 6．551(1)d x x x x -+⎰7．cos (cos sin )e e e d x xx x x x -⎰ 8．21arctan1d x x x +⎰9．sin 22sin d xx x +⎰ 10．x11．2124d xx x x ++⎰ 12．322arccos (1)d x x x -⎰13．sin sin 2e d x x x ⎰ 14．15．4cos d x x ⎰ 16．17．25613d x x x x +-+⎰ 18．d x19．(1sin )1cos e d x x x x++⎰第五章 自测题1．求21lim n n→∞+L （本题6分）2．求1ln ee d x x x ⎰（本题6分）3．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求0()()d xF x f t t =⎰．（本题7分）4．设()y y x =由22000e d yx t t t +=⎰⎰确定，求d d yx ．（本题6分）5．()f x 具有连续导数，(0)0f =，02(),0()0,0d x tf t t x x xx ⎧⎪≠Φ=⎨⎪=⎩⎰，求(0)'Φ．（本题7分）6．求220x ⎰．（本题6分）7．求20ln(1)(2)1d x x x +-⎰．（本题6分）8．⑴证明()[()()]0d d aaa f x x f x f x x -=+-⎰⎰⑵求244cos 1d e x xx ππ--+⎰． （本题8分）9．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xaF x f t t x a =-⎰，证明：在(,)a b 内有()0F x '≤．（本题7分） 10．求101d e x x+⎰（本题6分）11．求131231(1)e d x x x x+-⎰（本题6分）12．设()f x 在2[0,]l 上连续，证明20()()d xF x tf t t =⎰在(,)l l -上是偶函数．（本题5分）13．求x （本题6分）14．求12(1)e d xx x x +⎰（本题6分）15．已知2()e xf x -=，求10()()d f x f x x '''⎰．（本题6分）16．求11(2)d xx x -+⎰（本题6分）第六章 自测题一、填空题（每小题4分，共28分）1．曲线1y x=与直线,2y x x ==所围成的平面图形的面积A = ． 2．曲线23y x =-与直线2y x =围成平面图形的面积A = ． 3．由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积V = ． 4．曲线上21arctan ,ln(1)2x t y t ==+相应于01t ≤≤的一段弧的长度s = ．5.设曲线的极坐标方程为e (0)a a θρ=>，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与 极轴所围成的平面图形的面积A = ． 6.心形线4(1cos )ρθ=+和直线0,2πθθ==所围成的图形绕极轴旋转所形成旋转体的体积V = ．7．质点以2sin()t t 米/秒作直线运动，则从时刻1t =秒到2t =程等于 米．二、单项选择题（每小题4分，共24分）1.由抛物线(1cos )a ρθ+=与射线0θ=及23θπ=所围成的图形面积为 ．A ．22a B 2a C 2 D 2 2．设(),()f x g x 在[],ab 上连续且()()g x f x m <<，则由曲线()y f x =与直线()y g x = 围成的平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体的体积V = ．A ．[][]2()()()()d ba m f x g x f x g x x π-+-⎰ B ．[][]2()()()()d ba m f x g x f x g x x π---⎰C ．[][]()()()()d ba m f x g x f x g x x π-+-⎰ D ．[][]()()()()d ba m f x g x f x g x x π---⎰3.由曲线32sin (0)y x x π=≤≤与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积 为 ． A ．43 B ．43π C ．223π D ．23π4.摆线的一拱与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V = . A ．2220(1cos )d a t t ππ-⎰ B ．[]2220(1cos )d (sin )aa t a t t ππ--⎰C ．[]2220(1cos )d (sin )a t a t t ππ--⎰ D ．2220(1cos )d aa t t ππ-⎰5.曲线21ln(1)(0)2y x x =-≤≤的弧长等于 .．A ．ln 3B ．1ln 32-C ．12D ．1ln 32+6．如图6.2，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，已知引力参数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为 ．A ．02d ()l km x a x μ--⎰ B ．20d ()l km x a x μ-⎰ C ．022d ()l km x a x μ-+⎰ D ．220d ()lkm x a x μ+⎰三、计算题（每小题7分，共42分）1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ，大块面积为B ，求AB的值.2．求曲线ln y x =(26)x ≤≤的一条切线，使得该切线与直线2,6x x ==及曲线ln y x =所围成的平面图形面积最小.3．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．4.设()x ρρ=是抛物线y =(,)M x y 处的曲率半径，()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，计算d d sρ.5．设抛物线2y ax bx c =++过原点，当01x ≤≤时，0y ≥，又已知该抛物线与直线1x =及x 轴所围成图形的面积为13.试确定,,a b c 的值，使此图形绕x 轴旋转一周而成旋转体的体积为最小.6．一底为8cm,高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力.四、用定积分的元素法证明：由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 2()d b aV xf x x π=⎰.（本题6分）第七章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1．设a r =()2,5,1-，b r =()1,3,2,问λ与μ有怎样的关系 ，λa r +μb r与z 轴垂直． 2．若已知向量a r =()3,4,0,b r =()1,2,2,则a r ,b r夹角平分线上的单位向量为 ． 3．若两个非零向量a r ,b r的方向余弦分别为111cos ,cos ,cos αβγ和222cos ,cos ,cos αβγ，设a r ,b r夹角为ϕ，则cos ϕ= ．4．过直线122232x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面方程为 ． 5．直线1l :158121x y z --+==-与直线2l :623x y y z -=⎧⎨-=⎩的夹角θ= ． 6．点()3,-4,4到直线452221x y z ---==-的距离为 ． 7．曲线2221x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在xoy 面上的投影曲线为 ．8．与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程为 ． 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．点P ()3,2,2-在平面32210x y z -+-=上的投影点是 ．A ．()3,1,2-B ．301720,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()7,2,1 D ．()2,21,3-- 2．直线224213x y z -+-==-与平面4x y z ++=的关系是 ． A ．直线在平面上 B ．平行 C ．垂直 D ．三者都不是 3．两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为 ．A ．629 B ．2429 CD4．xoz 平面上曲线()e 0xz x =>绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为 ．Ae x = B ．22e x y z += C ．22e xy z += D．z =三、计算题（共64分）1．化简()()()a b b c c a ⎡⎤+⋅+⨯+⎣⎦r r r r r r．（本题5分）2．求与坐标原点O 及点A ()2,3,4距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程，它表示 怎样的曲面？（本题6分）3．将空间曲线方程222160x y z x z ⎧++=⎨+=⎩化为参数方程．（本题5分）4．求中心点在直线247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩上且过点A ()0,3,3和点B ()1,3,4-的球面方程．（本题6分）5．求通过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z ==的平面方程．（本题7分）6．点P ()2,1,1--关于平面π的对称点为1P ()-2,3,11，求π的方程．（本题7分）7．直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面:0x y z π++=上投影直线L 0的方程．（本题7分）8．求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成4π角的平面方程．（本题7分）9．求过点P ()2,1,3且与直线l :11321x y z+-==-垂直相交的直线方程．（本题7分）10．直线过点A ()3,5,9--且和直线1l :3523y x z x =+⎧⎨=-⎩,2l :47510y x z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．（本题7分）第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共27分）1．极限()22122lim 1x y x y x y-+→→+= .2．设u =,则(1,2,1)d u -= . 3．设2(,,)e xf x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f -= .4．设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f ，g 均可微，则z x ∂=∂ . 5．设(,)z z x y =是由方程()x mz y nz ϕ-=-所确定（,m n 为常数，ϕ为可微函数），则z zmn x y∂∂+=∂∂ . 6．函数u xy yz xz =++在点(1,2,3)P 处沿P 点向径方向的方向导数为 . 7．函数222z x y =+在点(1,1)处的梯度为.8．曲面222327x y z +-=在点(3,1,1)处的切平面方程为 .9．曲线44t x =，33t y =，22t z =的平行于平面320x y z ++=的切线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．若二元函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则在00(,)x y 点下列结论中不一定成立的是 .A. 连续B. 偏导数存在C. 偏导数连续D. 切平面存在2．函数z =在点(0,0)处 .A ．不连续 B. 偏导数存在 C. 任一方向的方向导数存在 D. 可微 3．设(,)(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在(0,0)的某邻域内连续，若(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，则(0,0)ϕ= .A ．0B ．1C ．2D ． 4. 设(0,0)1x f =，(0,0)2y f =，则 . A ．(,)f x y 在(0,0)点连续 B. (0,0)d (,)d 2d f x y x y =+ C.(0,0)cos 2cos flαβ∂=+∂，其中cos ,cos αβ为l 的方向余弦D. (,)f x y 在(0,0)点沿x 轴负方向的方向导数为1-5. 函数22(,)f x y x y =在点(2,1)沿方向l i j =+r r r的方向导数为 .A ．16 B．28 D 三、解答题(共58分)1．设二元函数,()x z f xy yg x y y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2zx y∂∂∂.（本题8分）2. 求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分.（本题8分）3．设,u v 是,x y 的函数，且01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求ux ∂∂.（本题8分）4. 设球面2221x y z ++=在点0(0,0,1)P 处的外法线方向为n r ，求函数23u x y z =++在0P 点沿方向n r的方向导数.（本题8分）5. 求曲线2222242x y z x y x⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在点P 处的切线方程和法平面方程.（本题9分）6. =，(0)a >上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .（本题8分）7. 求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 的边界上的最大值和最小值.（本题9分）第九章 自测题一、填空题（每小题4分，共24分）1.若积分区域D 是由0x =，1x =，0y =，1y =围成的矩形区域，则e d d =x y Dx y +⎰⎰ .2. 把二重积分20d (,)d I y f x y x =⎰化为极坐标形式，则I = .3. 交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +=⎰⎰⎰ .4. 二重积分d DI y x y =⎰⎰，若D 为222x y a +≤的上半部分，则I = . 5. 设区域D 是以(0,0)，(1,1)和(0,1)为顶点的三角形，则2e d d =yDx y -⎰⎰ . 6. 设Ω：0x a ≤≤，0y b ≤≤，0z c ≤≤，则d =xyz V Ω⎰⎰⎰ .二、单项选择题（每小题3分，共24分）1. 设区域222{(,)|,0,0}D x y x y a a y =+≤>≥，则22()d d =Dx y x y +⎰⎰ . A.3d d ar r πθ⎰⎰ B.2d d ar r πθ⎰⎰ C. 3202d d ar r ππθ-⎰⎰ D. 2202d d ar r ππθ-⎰⎰ 2.设(,)d d D I f x y x y =⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及双曲线1xy =所围成的区域，则I = . A.21222111112d (,)d =d (,)d +d (,)d y xy xy f x y x x f x y y x f x y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰B.11212112122d (,)d =d (,)d +d (,)d xy x yy f x y x x f x y y x f x y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.21222111112d (,)d =d (,)d +d (,)d y xyxy f x y x x f x y y x f x y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰D.21222111112d (,)d =d (,)d +d (,)d x yxyy f x y y y f x y x y f x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰3．设0xd (,)d aI x f x y y =⎰，转化为极坐标后，I = .A.2cos 20d (cos ,sin )d a f r r r r πθθθθ⎰⎰ B. 2sin 204d (cos ,sin )d a f r r r r πθπθθθ⎰⎰C.2sin 20d (cos ,sin )d a f r r r πθθθθ⎰⎰D. 2cos 204d (cos ,sin )d a f r r r r πθπθθθ⎰⎰4. 设(,)f x y 连续,且(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰,D 是由0y =,2y x=,1x =围成,则(,)f x y = .A. xyB. 2xyC. 18xy +D. 1xy + 5. 设有空间闭区域{}22221(,,),0x y z x y z R z Ω=++≤≥，{222(,,)x y z x y Ω=++}22,0,0,0z R x y z ≤≥≥≥，则有___________.A. 12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B. 12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D. 12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.球面22224x y z a ++=与柱面222(0)x y ax a +=>所围成的立体的体积V = .A. 2cos 204d a r πθθ⎰⎰B. 2cos 208d a r r πθθ⎰⎰C. 2cos 204d a r r πθθ⎰⎰D. 2cos 202d a r r πθπθ-⎰⎰7. 两半径为R 的直交圆柱体所围立体的表面积S = . A.4d R x x ⎰⎰B.8d Rx y ⎰⎰C.4d R x x ⎰D. 016d Rx y ⎰⎰8. 设V 是曲面2221()2z x y z =++与22z x y =+所围成较小部分，则V = .A. 221d d d r r r z πθ⎰⎰⎰B. 2101d d d rr r z πθ⎰⎰⎰C.22110d d d r r r r z πθ-⎰⎰⎰D. 2211d d d r r r z πθ⎰⎰⎰三、计算题(共52分)1. 计算d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线21y x =-与21y x =-所围成的区域.（本题8分） 2. 11sin d d y xy x x⎰⎰（本题8分）3.设平面薄片所占的区域D 为由直线2x =，y x =及双曲线1xy =所围成的，且其密度函数为22(,)x u x y y=，求此薄片的质量.（本题8分）4.d Dx y ⎰⎰,其中D 是由222+x y π=和222+4x y π=围成的区域.（本题9分） 5.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω由不等式222xy z z ++≥和2222x y z z ++≤所确定.（本题9分）6. 设一均匀物体(密度1ρ=)占有的闭区域Ω是由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所形成的曲面与平面2z =和8z =所围成的，求物体关于z 轴的转动惯量.（本题10分）第十章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知螺旋线cos sin x R t y R t z bt =⎧⎪=⎨⎪=⎩上每一点密度等于该点到原点距离的平方，则t 从0到2π的第一回旋部分的质量为 ．2．设222(,,)f x y z x y z =++，则((,,))f x y z rot grad = ． 3．设(,)P x y ，(,)Q x y 在单连域G 内有一阶连续的偏导数，则(,)d (,)d LP x y x Q x y y+⎰在G 内为某一函数(,)u x y 的全微分的充要条件是 在G 内恒成立．4．2d L y s ⎰Ñ= ，其中L 为球面2222x y z R ++=与平面0x y z ++=的交线．5．d d y x z ∑⎰⎰= ，其中∑为y x =，01x ≤≤，01z ≤≤右侧．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．2222d d ()()L y x I x y x y x y -=+++⎰i ，因为22222()P Q y x x y x y ∂∂-==∂∂+，所以 ．A ．对任意曲线L ，0I =B ．在L 为不含原点的闭区域的边界线时，0I =C ．因为P x∂∂，Q y ∂∂在原点不存在，故对任意曲线，0I ≠ D ．在L 包含原点时0I =，不包含原点时0I ≠2．设L 为椭圆22143x y +=，其周长为a ，则22(234)d L xy x y s ++⎰i = ． A ．a B ．2a C ．4a D ．12a 3．设L 为任何不经过0y =的区域D 内的曲线()()222222d d aa Lx x x y x x y y y y+++⎰与路径无关，则a = ．A ．12-B ．13-C ．52D ．324．∑为三个坐标面与平面123y zx ++=所围成的四面体表面的外侧，则(1)d d d d d d x y z y z x x y ∑+++⎰⎰Ò= ．A ．1B ．2C ．3D ．135．设∑为222()z x y =-+在xoy 平面上方部分的曲面，则d S ∑⎰⎰= ．A ．20d d r πθ⎰⎰B ．200d d r πθ⎰⎰C ．2220d (2d r r πθ-⎰⎰ D ．20d d r πθ⎰三、计算题（每小题10分，共70分）1．22d d Ly x x x y y -⎰i，其中L 是圆周222x y a +=沿顺时针方向．2．()d x y z S ∑++⎰⎰，其中∑是平面y z a +=被圆柱面222x y a +=所截得的部分．3．计算d d 2d d yz z x x y ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分．4．2d d d d ()d d xy y z x z x x z x y ∑+++⎰⎰，其中∑是平面226x y z ++=在第一卦限部分的上侧．5．()()e sin d e cos d x xL I y b x y x y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中0a >，0b >，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧段．6．验证2232(38)d (812e )d yx y xy x x x y y y ++++在xoy 面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ．7．在变力2(1)()F y i x y j =++-r r r 作用下，一质点沿曲线(1)y ax x =-从点(0,0)移动到点(1,0)，试确定参数a ，使变力F r作的功最小．第十一章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．11(1)npn n ∞=-∑收敛，则p 的范围 . 2．幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 .3．幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑的和函数为 .4．函数2()ln(1)f x x x =++在0x =处幂级数展开式为 . 5．函数1,0()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩在[,]ππ-上展开为傅里叶级数，它的和函数为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则级数 收敛.A．n ∞= B ．11n n u ∞=∑ C ．1(1)nn n u ∞=-∑ D ．1n n nu ∞=∑ 2．若级数1nn u∞=∑收敛于S ，则级数11()nn n uu ∞-=+∑ .A ．收敛于2SB ．收敛于12S u +C ．收敛于12S u -D ．发散 3．若级数21nn a∞=∑，21nn b∞=∑都收敛，则级数1n nn a b∞=∑ .A ．一定条件收敛B ．一定绝对收敛C ．一定发散D ．可能收敛也可能发散4．函数项级数1n ∞=的收敛域是 . A ．1x > B ．1x < C ．1x <或3x > D ．13x << 5．设0λ>，0n a >（1,2,n =L ），且级数1nn a∞=∑收敛，则级数1(1)n ∞=-∑A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．是否收敛与λ的取值有关三、判定下列级数的收敛性.（每小题8分，共24分）1．1(ln )nn nn ∞=∑2．12ln 2n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑3．1n x ∞=∑⎰四、判断下列级数的收敛性，若收敛，条件收敛还是绝对收敛？（本题16分）1．1(1)nn ∞=-∑2．111n n n n -∞=+五、求幂级数12121(1)n nn n x n∞-=+-∑的收敛域及和函数.（本题10分）六、将函数21()32f x x x =++展开为4x +的幂级数，并求收敛区间.（本题10分）七、将函数2,02()1,2xl x l f x l x l⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开为正弦级数并指出展开式成立的范围.（本题10分）第十二章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1.微分方程()d ()d x y y x y x +=-的类型是 .2.微分方程sec d csc d x y x x =满足(0)2y π=的特解为 .3.若()f x 满足20()d ln 22x t f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x = . 4. 微分方程d d xx y y+=的通解为 .5. 以1r =-为二重特征根，i ±为共轭复特征根的四阶常系数线性齐次微分方程是 .6.设曲线()y f x =在其上任一点上凹，且曲率与322(1)y '+的积为sin x ，在点(0,0)处的切线平行于直线y x =-.则曲线所满足的微分方程及初始条件为 .7.微分方程20yy y '''+=满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解为 . 8. 微分方程2()d 2d 0y x x x y +-=满足初始条件6(1)5y =的特解为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．下列函数中是方程0y y '''+=的通解的是 .A. 12sin cos y C x C x =+B. e xy C -= C. 1y C = D. 12e xy C C -=+ 2.设()f x 在(0,)+∞内有二阶连续导数，且21()()(1)2,()d 0x f x f t f f x t x t '=--=⎰，则 ()f x = .A. 1x +B. 21x + C. 31x + D. 41x + 3. 微分方程cos y y x x ''+=的一个特解形式为 .A. ()cos ax b x +B. ()cos ()sin x ax b x x cx d x +++C. ()sin x ax b x +D. ()cos ()sin ax b x cx d x +++4.设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个特解，若0()0f x >且0()0f x '=，则()f x 在0x 处 .A. 取得极大值B. 取得极小值C. 不取得极值D. 不能确定 5.设()f x 可微且满足20()()d 0,(0)0x f x f x x f '+=≠⎰，则 .A. (0)f 是()f x 的极小值B. (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点C. ()f x 的值域是(,)-∞+∞D. (0)f 是()f x 的最大值6.已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21yy x x α∆=∆++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=.则(1)y = .A. 2πB. πC. 4e π D. 4e ππ三、求解下列微分方程的通解（每小题6分，共24分）1．()2d 4d 0y x x x y +-=2．()2d 2d 0x y x xy y -+=3.2222d 21d d 1d y y y x y x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭4.25sin 2y y y x '''++=四、求下列微分方程满足初始条件的特解（每小题7分，共21）1．d 2ln d y x y x x x +=，1(1)9y =-2．22d d yx xy y x+=，(1)1y =3.4e ,(0)0,(0)1xy y x y y '''-===五、设0()sin e ()d xt f x x f x t t =+-⎰，若()f x 连续，求满足条件的()f x .（本题6分）六、验证函数3693()()13!6!9!(3)!nx x x x x y x n -∞<<+∞=++++++L L 满足微分方程e xy y y '''++=，并利用该结论计算幂级数30(3)!nn n x ∞=∑的和函数. （本题7分）高等数学(上下)各章自测题参考答案第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 14-2. 6-3. 7a =，5b =4. 2a =-5. 水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =6. 21y x =+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C 三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.2222(1)(3)(3)lim lim 04(2)4x x x x x x x →→→+-+===-.2．()()11112222200lim elim e 1lim 1e 11e e xxx x xxxx x x x x x x x ----→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22222020e 1e 111e 1lim 2lim e 22e e 120lim 1e 11eee x x x xx x x x x x x x xx x x x →→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫- ⎪- ⎪-⋅- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭→⎛⎫⎡⎤=+-+=⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭213e e e ---=⋅=.3. ()1312333,31233n n n nnn n<++<⋅∴<++<Q又()11,lim 1233nn nn n →∞=∴++=.4．2111sinsin sinlimlim lim lim 112x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞==⋅=. 5.()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L . 6．1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7．(2002lim lim lim 012x x x x x +++→→→===+. 四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设222()2ax x bx x x ϕ-+=+-，则22(1)(2)()ax x b x x x ϕ-+=--，令1x =得 20a b -+=，令2x =得440a b ++=，故2,4a b =-=．2．左边22(1)lim lim lim x x x x a x b ⎡⎤--+⎢⎥===右边1=故[]lim (1)1x a x b →-∞--=，则1,2a b ==-．五、解：000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．六、解：sin lnsin sin sin ()lim ex t t x xt xf x -→=，而sin lnsin sin lim ln limsin sin sin sin sin 1sin t xt x tx t x x t t x x x x→→=-- sin ln 11sin lim sin sin sin 1sin t x t x x x t x x x →⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==-，故sin ()e x xf x =，0,(1,2,)x x k k π===±±L 都是 ()f x 的间断点，sin 0lim ()lim ee x xx x f x →→==，故0x =为()f x 的第一类（可去）间断点，(1,2,)x k k π==±±L 均为()f x 的第二类间断点．七、证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()11122F f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222111111(0)(0)(0)1(1)2(0)(0)222222F F f ff f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21(0)02f f ⎡⎤⎛⎫=--≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0F ξ=，即1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.1-2. 3221sin x x3.()C4. sin sin e cos (e )d x xy xf x '=5.1-6.212y x πππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭或 2322y x ππ=-+ 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1)(ln e x y '⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦2e x x ⎛⎫=x=.(2))11y ⎛⎫⎫'=-+⎪⎭⎝12⎛⎫=-11x ⎫=+⎪⎭.(3) 11ln ln ln aa xa ax a a x y a x a a ax a a a a --'=+⋅+⋅1112ln (ln )a a xa a x a a x a xaxa a a a -+-=++.(4) 两边取对数得ln cos ln sin y x x =，两边求导数得1sin ln sin cot cos y x x x x y'=-+，cos (sin )(sin ln sin cot cos )x y x x x x x '=-+. 2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1) 22d d(ln sin )(ln 1cos 2)d y x x x x x x x =+=++⋅.(2)222111cot cot cot 2222111211d d e e 2cot csc d cot csc e d x x xy x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-⋅-=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3) 2d d 2d y x x ⎛⎫⎛ == ⎝⎝. 3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）2cos (sin )ln y x x x '=-2cos xx+2cos sin 2ln x x x x =-+，22sin 22cos (sin )cos cos 22ln x x x x x y x x x x ⋅--⎛⎫''=-⋅⋅-+⎪⎝⎭22sin 4ln sin 2cos x x x x xx x ⋅+=-.（2）22(1)(1)2(1)(1)x x y x x ----'==-++，44(1)(1)x y x -+''=-+34(1)x =+.4.首先 ()f x 在1x =处连续，故11lim ()e=lim ()x x f x f x a b -+→→==+，故e a b +=， 其次，1+00(1)(1)e e lim lim x x x f x f x x --∆∆→∆→+∆--=∆∆0e 1lim e e x x x-∆∆→-==∆， 00(1)(1)(1)()lim lim x x f x f a x b a b a x x++∆→∆→+∆-+∆+-+==∆∆， 由于()f x 在 1x =处可导，故e a =，故e a =，0b =. 5.00()(0)sin lim lim 10x x f x f x x x --→→-==-，00()(0)ln(1)lim lim 10x x f x f x x x++→→-+==-， 故(0)1f '=，由于()f x 在0x >，0x <时均可导，故cos ,0()1,01x x f x x x<⎧⎪'=⎨≥⎪+⎩.6.方程可变形为 22ln ln 1x y xy --=，两边求微分得221d d d 2d 0x y y x xy y x y---=，故3222d d 2y xy y x x x y -=+. 7.22d ()cos cos cos sin tan 1d ()1sin sin sec sin 2sin 2tan 2y y t a t t t tt t x x t t t t a t t '====='-⎛⎫- ⎪- ⎪⎪⎝⎭， 2242d d (tan )sec sec sin d 1d ()()sin sin y y t t t t x x x t x t a a t t '⎛⎫ ⎪'⎝⎭====''⎛⎫- ⎪⎝⎭.。