LC J C
刚体平面运动微分方程
LC J C
xC yC
其中JC为刚体对通过质心C 且与运动平面垂直的轴的转 动惯量， 为角速度。
当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面 力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心 动量矩定理 ，有 n maC Fie i n J C M C (Fie ) i
刚体平面运动微分方程
C*
vA 相对特殊瞬心的动量矩定理：平面 运动过程中，如果刚体的质心 C 到速 度瞬心 C* 的距离保持不变，则质点 系相对速度瞬心的动量矩对时间的导 vB 数等于质点系外力对同一点的主矩。 即
aC
FN
maC mgsin F
0 mgcos FN
J C Fr
刚体平面运动微分方程
α
F
maC mgsin F
（） 1
0 mgcos FN
（2）
aC
FN
J C Fr
运动学补充关系
（3）
（4）
1 2 aC 1 mr 2 maC 2 2 r
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri Байду номын сангаас rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
0 mgcos FN
1 F mgsin FN f s 3 1 f smin tan 3 此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。
刚体平面运动微分方程
均质杆 AB长为l，放放置于铅垂 平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂 墙上，另一端B放在光滑的水平面 上，与水平面的夹角为 0 。然后 ，令杆由静止状态滑下。 求：杆在任意位置时的角加速度。
第11章 动量矩定理

刚体平面运动微分方程
刚体平面运动微分方程
取质心 C 为基点，其坐标为 xC、yC，设D为刚体上任意一点 ， CD 与 x 轴的夹角为 φ, 则刚体 的位置可由xC、yC和φ确定。
xC
yC
将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部 分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平 面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动 量矩为
刚体平面运动微分方程
maC Fie i n J C M C (Fie ) i
n
mxC Fxe
或者
e myC Fy J C M c ( Fi e )
这就是刚体平面运动的微分方程。 需要指出的是，如果上述投影方程中各式等号的左侧各项 均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力 系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩 定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还 完成了对刚体平面运动的特例—— 平衡情形的静力学描述。
相对质心的动量矩定理
在质点系相对于惯性参考系中固定点（或固定 轴）的动量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动 所确定。 这里讨论质点系相对于质点系的质心或通过质 心的动轴的动量矩定理，一方面是因为它有广泛 的应用价值，另一方面动量矩定理仍保持了简单 的形式。
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
这就是质点系相对质心的动量矩定理(theorem of the moment of momentum with respect to the center of mass) ，它表明：质点 系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力 对质心的主矩。 需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定 是平移坐标系。定理只适用于质心这一特殊的动点，对其它动 点，定理将出现附加项。 对于刚体，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质 点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内 绕质心转动的关系。
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
刚体平面运动微分方程
解：以杆为研究对象，杆作 平面运动，分析其受力 列出平面运动微分方程 mg
maCx FA maCy FB mg J C FB l l cos 0 FA sin 0 2 2
FA
FB
式中有五个未知量 ( aCx , aCy , , FA , FB ) ，如果要 求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这 一方法比较麻烦。
aC r
（4）式代入（3）式，得 代入（1）式，得
F JC

r

aC
2 gsin 3
刚体平面运动微分方程
α
F
解：2．确定圆轮在斜面上不滑动的 最小静摩擦因数
2 aC gsin 3
F JC

r
aC
FN

1 2 aC 1 mr 2 maC 2 2 r
1 F mgsin FN f s 3
刚体平面运动微分方程
半径为 r 的匀质圆盘从静止开 始，沿倾角为θ的斜面无滑动的滚 下。 试求： 1 ．圆轮滚至任意位置时的质心 加速度 aC ； 2 ．圆轮在斜面上不打滑的最小 静摩擦因数。
刚体平面运动微分方程
解：分析圆轮受力
α
F
1．确定圆轮质心的加速度 圆轮作平面运动。根据刚 体平面运动微分方程，有