函数与导数专题复习类型一 导数的定义 运算及几何意义例1：已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且满足x xf x f ln )1(2)('+=，则=)1('f （ ） A ．-ｅ B.-1 C.1 D.e解：xf x f 1)1(2)(''+=，1)1(1)1(2)1('''-=∴+=f f f 【评析与探究】求值常用方程思想，利用求导寻求)('x f 的方程是求解本题的关键。
变式训练1 曲线33+-=x x y 在点（1,3）处的切线方程为类型二 利用导数求解函数的单调性例2：d cx bx x x f +++=2331)(何时有两个极值，何时无极值？)(x f 恒增的条件是什么？解：,2)(2'c bx x x f ++=当0442>-=∆c b 时，即c b >2时，0)('=x f 有两个异根2,1x x ，由)('x f y =的图像知，在2,1x x 的左右两侧)('x f 异号，故2,1x x 是极值点，此时)(x f 有两个极值。
当c b =2时，0)('=x f 有实数根0x ，由)('x f y =的图像知，在0x 左右两侧)('x f 同号，故0x 不是)(x f 的极值点当c b <2时，0)('=x f 无根，当然无极值点 综上所述，当时c b ≤2，)(x f 恒增。
【评析与探究】①此题恒增条件c b ≤2易掉“=”号，②c b =2时，根0x 不是极值点也易错。
变式训练2 已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，它们的图像在1=x 处有相同的切线 ⑴求函数)(x f 和)(x g 的解析式；⑵如果)()()(x mg x f x F -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上是单调增函数，求实数m 的取值范围类型三 函数的极值与最值问题例3已知2)(,ln )(2--=-=x x g ax x x x f⑴对一切()+∞∈,0x ，)(x f ≥)(x g 恒成立，求实数a 的取值范围；⑵当1-=a 时，求函数)(x f 在[])0(3,>+m m m 上的最值；解：对一切()+∞∈,0x ，)(x f ≥)(x g 恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立。
也就是xx x a 2ln ++≤在恒成立 令xx x x F 2ln )(++= 则22')1)(2(211)(x x x x x x F -+=-+= 在（0,1）上，)('x F <0，在（1，∞+）上)('x F >0，因此，)(x F 在1=x 处取最小值，也就是最小值，即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a⑵当1-=a 时, 2ln )(,ln )('+=+=x x f x x x x f ，由2'10)(ex x f ==得 ①当210e m <<时，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,e m x 上， 0)('<x f ，在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈3,12m e x 上，0)('>x f ，因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值，2min 1)(ex f -= 由于[]01)3ln()3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f因此[]1)3ln()3()3()(max +++=+=m m m f x f②当21em ≥时，0)('≥x f ，因此)(x f 在[]3,+m m 上单调递增，所以[]1ln )()(min +==m m m f x f ，[]1)3ln()3()3()(max +++=+=m m m f x f【评析与探究】①)(x f ≥)(x g 恒成立，求实数a 的取值范围常用分离常数法化为min )(x h a ≤，当不能分离常数时需视情况讨论；②区间含参数而函数不含参数讨论最值时，最好作出其图像，从左自右地移动区间，观察函数图像的变化，然后求解，这样对区间参数的讨论就会直观明了.变式训练3已知函数bx x x g a ax x f +=>+=32)(),0(1)(⑴若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在他们的交点（1，c ）处具有公共切线，求b a ,的值 ⑵当9,3-==b a 时，若函数)(x f +)(x g 在区间[]2,k 上的最大值为28，求k 的取值范围类型四 导数与方程不等式问题例4 设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=⑴若在定义域内存在0x ，使得不等式0)(0≤-m x f 能成立，求实数m 的最小值⑵若函数a x x x f x g ---=2)()(在区间[]2,0上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围解：⑴要使得不等式0)(0≤-m x f 能成立，只需min )(x f m ≥，求导得1)2(2112)1(2)('++=+-+=x x x x x x f 函数的定义域为),1(+∞-当)0,1(-∈x 时， 0)('<x f ，所以函数在区间)0,1(-上是减函数当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，所以函数在区间),0(+∞上是增函数 ∴1,1)0()(min ≥∴==m f x f ，所以最小值为1⑵)()1ln(2)1()(22a x x x x x g ++-+-+=，由题设可得：方程a x x =+-+)1ln(2)1(在区间[]2,0上恰好有两个相异实根。
设=)(x h )1ln(2)1(x x +-+画出函数)(x h 的草图得3ln 232ln 22-≤<-a【评析与探究】利用导数作出函数的草图，有助于求解函数的零点问题变式训练4已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[]1,1-上的减函数 ⑴求λ的最大值⑵若1)(2++<λt t x g 在∈x []1,1-上恒成立，求t 的取值范围 ⑶讨论关于x 的方程m ex x x f x +-=2)(ln 2根的个数类型五 优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元）满足关系式2)6(103-+-=x x a y ，其中63<<x ，a 为常数。
已知销售价格为5元，每日可销售出该商品11千克。
⑴求a 的值⑵若该商品的成本为3元，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品利润最大解：⑴因为5=x 时，11=y ，所以2,11102==+a a ⑵由⑴可知，商场每日销售量2)6(1032-+-=x x y ，所以商场每日销售该商品所获得的利润{})63()6)(3(102)6(1032)3()(22<<--+=-+--=x x x x x x x f 从而[])6)(4(30)6)(3(2)6(10)(2'--=--+-=x x x x x x f得，4=x 是函数)(x f 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值，所以当4=x 时，函数)(x f 取得最大值，且最大值等于42【评析与探究】求解优化问题的关键在于从实际情境中收集整理信息，利用相关知识建立目标函数，抽象出函数表达式然后再用导数求解。
变式训练5 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元-1000万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20% ⑴若建立函数)(x f 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数)(x f 模型的基本要求⑵现有两个奖励函数模型 ①2150+=x y ②3lg 4-=x y试分析这两个函数模型是否符合公司要求？强化闯关1.设)(x f 在区间()+∞∞-,上可导，其导函数为)('x f ，给出下列四组条件 ①p: )(x f 是奇函数,q: )('x f 是偶函数②p: )(x f 是以T 为周期的函数，q: )('x f 是以T 为周期的函数③p: )(x f 在()+∞∞-,上为增函数，q: 0)('>x f 在()+∞∞-,上恒成立 ④p: )(x f 在0x 处取得极值，q ：0)(0'=x f 其中p 是q 的充分条件的是A ①②③B ①②④C ①③④D ②③④2.已知定义在R 上的奇函数为)(x f ，设其导函数为)('x f ，当(]0,∞-∈x 时，恒有)()('x f x xf -<，令)()(x xf x F =，则满足)12()3(->x F F 的实数x 的取值范围是A ()2,1-B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 D ()1,2-3.设函数x xe x f =)(，则A 1=x 为)(x f 的极大值点B 1=x 为)(x f 的极小值点C 1-=x 为)(x f 的极大值点D 1-=x 为)(x f 的极小值点4.已知函数x x a x x f ln )3(21)(2+-+=时其定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围 5.直线b kx y +=与曲线x ax y ln 22++=相切于点p （1,4），则b 的值为6.设2,1x x )(2,1x x ≠是函数x a bx ax x f 223)(-+=的两个极值点，若2221=+x x ，则b 的最大值为7.已知函数xe k x xf +=ln )(（k 为常数），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行 ⑴求k 的值⑵求)(x f 的单调区间⑶设)()()('2x f x x x g +=，其中)('x f 为)(x f 的导函数，证明：对任意21)(,0-+<>e x g x8.设函数c x x x g ax ax x x f ++=--=42)(,31)(223 ⑴试问函数)(x f 能否在1-=x 时取得极值？说明理由；⑵若1-=a ，当∈x []4,3-时，函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，求c 的取值范围。